최근 수정 시각 : 2017-05-15 00:03:12
닫힌 도형의 반댓말로, 정확한 정의는 도형의 경계에 속하지 않은 어떠한 서로 다른 두 점에 대해서도 이 두 점을 연결하는, 도형의 경계를 지나지 않는 곡선이 항상 존재하는 도형을 의미한다. 닫힌 도형은 열린 도형을 먼저 정의한 뒤 열린 도형이 아닌 도형을 닫힌 도형으로 정의한다. 즉, 열린 도형에 의해서는 도형에 속하지 않는 점들의 집합이 나뉘지 않는다.
열린 도형은 닫힌 도형과 달리 "내부"라고 부를 수 있는 곳이 존재하지 않기 때문에 면적이 정의되지 않는다. 반대로 닫힌 도형의 경우 도형에 의해 전체 공간이 둘로 나뉘기 때문에, 둘 중에 한 쪽을 내부라고 정의할 수 있다. 통념과 다르게, 다각형의 테두리 바깥쪽을 내부라고 정의하는 짓도 가능하다. 다만 대부분의 경우 무한공간을 가정하기 때문에 그렇게 정의하면 내부 면적이 무한대가 되어 의미가 없기 때문에 실용성이 없다.
면적이 정의되지 않기 때문에 열린 도형의 면적을 구하는 적분은 원칙적으로 불가능하다. 따라서 열린 도형의 "면적"을 구하기 위해서는 적절한 선을 추가하여 닫힌 도형으로 바꾼 다음 한다. 수학적으로 엄밀한 정의가 요구되지 않는 고등학교 이하 수학이나 과학 분야 등에서는 열린 곡선의 면적이라 하면 기본적으로 그 곡선이 함수라는 전제를 깔고 축을 구성하는 변수에 대해 적분하는 것을 의미한다. 고등학교 수학에서 흔히 배우는 "n차 함수로 생기는 n차 곡선의 넓이를 구하라"는 문제는 y축에 수직한 선을 긋고 x축과 이어서 임의로 닫힌 도형의 넓이를 의미한다. 위의 예제의 수학적으로 엄밀한 표현은 "위 곡선으로 표현되는 함수를 적분하시오"다. 넓이가 더 간단한 표현이라고 생각해서 그런 건지는 모르겠지만, 사실 엄밀한 수학에서는 적분이 정의하기 더 쉽고 면적은 적분을 통해서 정의한다(...).