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1. 개요
Particle in a box어떤 입자가 특정 구간을 제외하고는 무한한 퍼텐셜이 존재하여, 해당 구간을 제외하고는 적은 확률로도 빠져나갈 수 없는 시스템을 "상자 속 입자"라 한다. 다른 말로는, 무한 퍼텐셜 우물(Infinite Potential Well)이라고도 한다.
이 문제를 쉽게 이해할 수 있는 것은 아래와 같이 두 강철판을 실로 연결하고, 구슬(입자)을 매단 뒤, 좌-우(1차원)로만 움직일 수 있게 만든 시스템[1]이다.
고전역학적으로는 입자는 강철 판 사이에서 연속적으로 존재할 수 있어 입자를 발견할 확률이 강철 판 사이 모든 영역에 대해 일정한 확률을 가지나, 아래의 문단을 보면, 입자가 극단적으로 작아지는 양자역학적으로는 더 많이 발견되는 위치가 있고, 또, 입자가 전혀 발견되지 않는 부분도 존재한다. 또한, 고전역학적으로는 입자는 연속적인 에너지를 가질 수 있으나, 양자역학적으로는 연속적이지 않은 값만을 가질 수 있다는 것 즉, 입자가 가질 수 있는 에너지가 양자화 되어 있다는 것 또한 발견할 수 있다.
물론 위에선 입자가 1차원에서만 움직일 수 있는 상황만 예상해보았지만, 충분히 확장해서 2차원, 3차원 문제에 대해서도 생각해볼 수 있다.
여담으로, 해당 문제는 양자역학적으로 쉽게 풀리는 케이스에 속하기 때문에 대부분의 양자역학 교재에선 자유입자를 다루고, 해당 '상자 속 입자' 문제를 다룬 뒤 더 복잡한 상황으로 넘어가게 되어있다.
우리는 난이도 상 1차원을 주력으로 분석할 것이고, 차원이 높은 2차원, 3차원은 간단히 고유 함수와 확률 밀도만 제시하였다.
2. 분석
2.1. 1차원
아래의 그림과 같이 차원 무한 퍼텐셜 상자 속 의 퍼텐셜이 인 곳에서 입자가 갇힌 시스템을 생각하자.이때, 퍼텐셜의 분포를 수식적으로 나타내면,
| [math(\displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l}0 & \quad \left(0<x<L \right) \\ \infty & \quad (\mathrm{otherwise}) \end{array}\right. )] |
2.1.1. 고유함수
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrödinger Eq.)[2]을 사용하면,| [math(\displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 \varphi }{\partial x^2}+V \varphi=E \varphi )] |
| {{{#!folding [ 슈뢰딩거 방정식 풀이 ] | <table width=100%>입자는 무한 퍼텐셜 벽을 투과할 수 없으므로 아래와 같은 두 경계 조건이 나오게 된다. 또한, 입자가 존재할 수 있는 에서 퍼텐셜 이므로 슈뢰딩거 방정식은 꼴이 된다. 이것을 정리하면, 이 나오게 된다. 이때, 이라 놓으면, 으로 정리되고, 이 방정식의 해는 다음과 같다. 여기서 는 각각 결정되지 않은 상수이다. 경계 조건 에서 임을 알 수 있고, 에서 을 만족해야 하므로 의 조건이 나온다. 여기서 입자가 가질 수 있는 에너지가 결정된다. 또한 입자의 파동함수 또한 결정된다. 이때, 상수 는 파동함수의 규격화 조건 을 만족해야 하므로 이것을 이용하면, 가 되어야 한다. 따라서 최종적으로 파동함수는 로 결정이 된다. | }}} |
| [math(\displaystyle \displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} \quad (n=1,2,3,\cdots ) )] |
| [math(\displaystyle \varphi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin{\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \left | \varphi_{n}(x) \right |^{2}&=\varphi_{n}^{\ast }(x)\varphi_{n}(x) \\ &=\frac{2}{L}\,\sin^{2}{\left ( \frac{n \pi x}{L} \right )} \end{aligned} )] |
최종적으로 차원 상자에 갇힌 입자에 대해 특징을 나열해보면 아래와 같다.
- 바닥상태에서 입자는 에너지가 이 아니다.
- 입자는 불연속적인 에너지만을 가질 수 있다. (에너지의 양자화)
- 확률밀도함수를 참조해보면, 전혀 발견되지 않거나, 가장 많이 발견되는 지점이 있다. 특히 일 때 상자의 중간지점()에선 입자는 전혀 발견되지 않는다.
2.1.2. 기댓값
우리는 이제 위치 [math(x)]와 운동량 [math(p)]의 기댓값을 구하고자 한다.(ⅰ) 위치에 대한 기댓값
위치에 대한 기댓값은
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{x}\varphi\,dx \\&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\sin^{2}{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\,dx \\ &=\frac{L}{2} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{x}^{2}\varphi\,dx \\&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x^{2}\sin^{2}{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\,dx \\ &=L^{2} \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2n^{2} \pi^{2}} \right) \end{aligned} )] |
(ⅱ) 운동량에 대한 기댓값
운동량에 대한 기댓값은
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \langle p \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{p}\varphi\,dx \\&=\frac{ 2}{L}\int_{0}^{L} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\cdot -i \hbar \frac{\partial }{\partial x} \left[ \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} \right]\,dx \\ &=0 \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle p_{n}=\pm \sqrt{2mE_{n}})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\int_{0}^{L} \varphi^{\ast}\hat{p}\varphi\,dx \\&=\frac{ 2}{L}\int_{0}^{L} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\cdot - \hbar^{2} \frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}} \left[ \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} \right]\,dx \\ &=\left( \frac{n \pi \hbar}{L} \right)^{2} \end{aligned} )] |
2.1.3. 불확정성 원리 검증
이제 우리는 상자 속 입자 문제가 불확정성 원리가 성립하는 지 알아볼 것이다. 윗 문단에서 구해놓은 기댓값들을 이용하면, 위치의 불확정성 [math(\Delta x)]와 운동량의 불확정성 [math(\Delta p)]를 구할 수 있다 이때,| [math(\displaystyle \Delta x \equiv \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}} \qquad \qquad \Delta p \equiv \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}} )] |
| [math(\displaystyle \Delta x=\frac{L}{2}\sqrt{ \frac{1}{3}-\frac{2}{n^{2}\pi^{2}}} \qquad \qquad \Delta p =\frac{n \pi \hbar}{L} )] |
| [math(\displaystyle \Delta x \Delta p =\frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{n^{2}\pi^{2}}{3}-2} \geq \frac{\hbar}{2} )] |
2.1.4. 대응 원리
양자수 이 매우 커지면, 확률밀도함수는 아래와 같이 변하게 된다.그런데, 고전역학적으로는 속력 로 상자 내부에서 움직이는 입자가 발견될 확률 [math(P_{\text{CM}})]은
| [math(\displaystyle P_{\text{CM}}(x)=\frac{2}{(2L/v_{0})v_{0}}=\frac{1}{L} )] |
| [math(\displaystyle P_{\text{QM}}(x)=\left| \varphi \right |^{2}=\frac{2}{L}\,\sin^{2}{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)} )] |
| [math(\displaystyle P_{\text{QM}}(x)= \frac{1}{L}\left [1-\cos{\left(\frac{2 \pi nx}{L}\right)} \right ] )] |
| [math(\displaystyle \displaystyle \frac{b-a}{L} )] |
거시적으로는 이 파동함수의 확률밀도함수와 로 균일한 값을 가진 함수를 구별할 수 없게 되고, 고전적 결과에 접근하게 되는데, 이처럼 양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근해가서 대응되게 되는 것을 발견할 수 있고, 이것을 대응원리(Correspondence principle)라 한다.
따라서 우리가 양자역학적으로 옳은 결론을 얻었는지 확인하려면, 양자수를 극한으로 증가시켜 그것이 고전역학적 결과와 맞는 지 확인을 하면 된다.
여담으로, 상자의 중점이 원점이 되게 잡았을 때[6], 파동함수의 모양은 그대로 나오게 된다. 왜냐하면, 상자만을 옮겼을 뿐인데 물리적 현상이 다르게 기술될 수는 없기 때문(대칭성)이다.
그러나, 파동함수의 모양만 같을 뿐, 기준이 되는 원점이 옮겨졌기 때문에 파동함수의 표현은 달라져서 더 이상 sine 항만 나오지 않고, cosine 항도 나오게 된다.
이것을 확장해보면, 상자의 길이나 위치를 변형하여도 대칭성에 의해 기술되는 물리 현상이 같아져야 함에 따라 파동함수는 같은 모양이 나와야하며, 단지 기술되는 함수만 달라지게 된다.
2.1.5. 고유함수의 직교성
우리는 윗 문단을 통해 "상자 속 입자" 문제의 고유함수는 아래와 같음을 구하였다.| [math(\displaystyle \varphi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin{ \left( \frac{n \pi x}{L} \right) } )] |
| [math(\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{n}^{\ast} \varphi_{m} \,dx )] |
| [math(\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle =\frac{2}{L} \int_{0}^{L} \sin{ \left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\sin{ \left( \frac{m \pi x}{L} \right)} \,dx )] |
| [math(\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin{ (nt)}\sin{ (mt)} \,dt )] |
| [math(\displaystyle \langle \varphi_{n} | \varphi_{m} \rangle =\delta_{nm} )] |
2.1.6. 고유함수의 시간 전개
우리는 윗 문단을 통해, 시간에 의존치 않는 상자 속 입자 문제의 고유함수를 구했다. 이제 이 문단부터의 관심사는 [math(t=0)]에서 계의 고유 함수가| [math(\displaystyle \varphi_{n}(x,\,0)=\varphi_{n}(x))] |
| [math(\displaystyle i \hbar \frac{\partial \varphi_{n}(x,\,t)}{\partial t}=\hat{H} \varphi_{n}(x,\,t) )] |
| [math(\displaystyle X(x)=\varphi_{n}(x) )] |
| [math(\displaystyle \frac{dT(t)}{d t}=-i\frac{E_{n}}{\hbar}T(t) )] |
| [math(\displaystyle T(t) \sim \exp{\left( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \right)} )] |
| [math(\displaystyle \varphi_{n}(x,\,t) \sim \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\exp{\left( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \right)} )] |
| [math(\displaystyle \varphi_{n}(x,\,t) =\sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)}\exp{\left( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \right)} )] |
| [math(\displaystyle |\varphi_{n}(x,\,t)|^{2} =\frac{2}{L} \sin^{2}{\left( \frac{n \pi x}{L} \right)} )] |
2.2. 2차원
이번엔 퍼텐셜 분포가 아래와 같이 주어지는 경우를 보자.| [math(\displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi+V \varphi=E \varphi )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n_{x}n_{y}}(x,\,y)&=\sqrt{\frac{4}{L_{x}L_{y}}}\,\sin{\left ( \frac{n_{x}\pi x}{L_{x}} \right )}\sin{\left ( \frac{n_{y}\pi y}{L_{y}} \right )} \\ E_{n_{x}n_{y}}&=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2m}\left [ \left ( \frac{n_{x}}{L_{x}} \right )^{2}+ \left ( \frac{n_{y}}{L_{y}} \right )^{2} \right] \end{aligned} )] |
아래의 범례에서 로 갈 수록 입자의 발견 확률이 0에 수렴하고, 로 갈수록 입자가 발견될 확률의 최대치에 이르게 된다.
2차원에서도 입자가 발견될 확률은 위치에 따라 다르게 나타남을 알 수 있고, 에너지 또한 불연속적인 값만 가질 수 있는 것을 알 수 있다.
2.3. 3차원
이번엔 퍼텐셜 분포가 아래와 같이 주어지는 경우를 보자.| [math( \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi+V \varphi=E \varphi )] |
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n_{x}n_{y}n_{y}}(x,\,y,\,z)&=\sqrt{\frac{8}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\,\sin{\left ( \frac{n_{x}\pi x}{L_{x}} \right )}\sin{\left ( \frac{n_{y}\pi y}{L_{y}} \right )}\sin{\left ( \frac{n_{z}\pi z}{L_{z}} \right )} \\ E_{n_{x}n_{y}n_{z}}&=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2m}\left [ \left ( \frac{n_{x}}{L_{x}} \right )^{2}+ \left ( \frac{n_{y}}{L_{y}} \right )^{2}+\left ( \frac{n_{z}}{L_{z}} \right )^{2} \right] \end{aligned} )] |
3. 사각 퍼텐셜 문제
1차원 퍼텐셜 문제에서 빠질 수 없는 유형으로, 계단 퍼텐셜, 사각형 퍼텐셜 장벽, 유한 퍼텐셜 우물의 문제가 있다. 퍼텐셜의 유형을 시각화 한 것은 아래와 같다.- 계단 퍼텐셜
- 사각 퍼텐셜 장벽
- 유한 퍼텐셜 우물
4. 관련 문서
[1] 강철판에 충돌 시 발생하는 운동량의 손실은 없다고 가정한다. 즉, 입자가 탄성 충돌하는 경우만 다룬다.[2] 일반물리학 수준에서는 이렇게만 알려주지만, 전공 과목을 듣게 되면, 이 방정식은 고윳값 방정식 임을 알게 된다. 따라서 아래에서 구한 파동함수는 이 고윳값 방정식의 고유함수(Eigenfunction)에 해당하며, 아래에서 구한 에너지는 고윳값(Eigenvalue)에 해당한다. 이에 관한 자세한 내용은 연산자 문서를 참고.[3] 이렇게 쓸 수 있는 이유는 해밀토니안 연산자와 운동량 연산자가 교환하기 때문이다.[4] 반각의 공식을 이용하여 적분하기 쉽게 만들었다.[5] 와 의 차이는 이다. 적분 구간의 길이는 인데, 코사인 함수는 한 주기(여기서는 )만큼 적분하면 0이므로 반복되는 구간을 전부 제거하면, 적분 구간의 길이를 보다 짧게 줄일 수 있다. 코사인 함수는 1 이하의 값만 가지므로, 적분 값의 크기는 이하가 된다.[6] 즉, 입자가 사이에서만 존재.[7] 더 깊은 수준의 양자역학 강의를 들으면 사실 상 디랙 표기법에 해당하는 연산은 함수의 내적임을 알 수 있다.[8] [math(T^{\ast}(t)T(t)=1)]