1. 개요
Bohr model19세기의 과학자들은 수소의 선 스펙트럼의 불연속적임을 온전히 설명하기 어려웠다. 특히 1888년 및 1890년에 뤼드베리 공식을 발표한 뤼드베리 조차 이를 완전히 설명하려 시도한바있다. 1913년에 닐스 보어는 수소의 선 스펙트럼을 효과적으로 설명하기 위해, 원자 모형을 다시 제창했는데 이때 1910년과 1912년의 막스 플랑크의 양자역학과 1890년의 뤼드베리 공식을 기초로 이를 제안하였다. 닐스 보어는 전자의 궤도나 에너지가 연속적이지 않고, 정수로 떨어지는 불연속적임을 가정하여 수소의 선 스펙트럼을 설명했다.
이 문서에서는 보어의 수소 원자 모형만을 다룬다.
2. 상세
보어는 수소 원자에 대하여 전자가 허용된 궤도에서만 핵 주위를 등속 원운동으로 공전한다고 가정하였다.등속 원운동은 가속 운동이기 때문에 전자기파 복사가 발생하여 원래는 에너지를 잃어 점점 핵으로 다가간다. 하지만 보어는 이러한 궤도에서는 전자기파 복사가 발생하지 않고, 안정한 궤도로 돈다고 가정하였다.
우선, 보어는 전자의 각운동량이 디랙 상수의 정수배로 주어진다고 가정하였다. 즉,
[math( L=n\hbar )]
고전역학적으로 각운동량은
[math( L=m_{\rm e}vr )]
[math(m_{\rm e})]는 전자의 질량이다. 공전 속력 [math(v)]을 구하기 위해 다음의 운동 방정식을 적용한다. 즉, 구심력이 전기력과 같다는 것을 이용한다.
[math(\displaystyle m_{\rm e} \frac{v^{2}}{r}=k\frac{e^{2}}{r^{2}} )]
[math(k)]는 쿨롱 상수이다.
각운동량을 제곱한다.
[math( L^{2}=m_{\rm e}^{2}v^{2}r^{2} )]
한편, 운동 방정식으로 부터
[math(\displaystyle m_{\rm e}v^{2}r=ke^{2} )]
이상에서
[math(\displaystyle m_{\rm e}r ke^{2}=n^{2}\hbar^{2} )]
이므로 [math(r)]에 대해서 정리하면,
[math(\displaystyle r=\frac{4\pi \varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{\rm e} e^{2}} n^{2} )]
이때, [math(k=(4 \pi \varepsilon_{0})^{-1})]이며, [math(\varepsilon_{0})]는 진공에서의 유전율이다.
즉, 궤도 반지름은 [math(n^2)]에 비례한다. 또한, [math(n^{2})] 앞에 붙은 상수는 보어 반지름이라 하고, 기호로 [math(a_{0})]로 일반적으로 쓴다.
2.1. 에너지 전이
전자가 궤도에서 갖는 에너지는 전기 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지이다.[math(\displaystyle E=T-k\frac{e^{2}}{r} )]
위의 사실을 이용하면
[math(\displaystyle E=T-m_{\rm e}v^{2}r )]
그런데,
[math(\displaystyle T=\frac{1}{2}m_{\rm e}v^{2}=\frac{L^{2}}{2m_{\rm e}r^{2}} )]
임을 기억하면
[math(\displaystyle E=T-2T=-T )]
이다.
더불어서 위에서
[math(\displaystyle 2T=-U )]
인데, [math(U)]는 전기 퍼텐셜 에너지이다. 즉, 전기 퍼텐셜 에너지의 절댓값은 운동 에너지의 반과 같다. 더 나아가 전체 에너지는 [math(U/2)]임을 참고한다.
이상에서
[math(\displaystyle E=-\frac{L^{2}}{2m_{\rm e}r^{2}}=-\frac{n^{2}\hbar^{2}}{2m_{\rm e} a_{0}^{2}n^{4}}=-\frac{\hbar^{2}}{2m_{\rm e} a_{0}^{2}}\frac{1}{n^{2}} )]
이고, 수소의 경우
[math(\displaystyle E_{n}=-\frac{13.6\,{\rm eV}}{n^{2}} )]
으로 주어진다.
이때 보어는 전자가 한 전이에서 다른 전이로 이동할 때, 에너지 준위의 차이만큼의 에너지를 방출하거나 흡수한다고 하였다. 즉,
[math(\displaystyle \Delta E =E_{n}-E_{m}=-\frac{h^{2}}{8\pi^{2}m_{\rm e} a_{0}^{2}} \biggl( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\biggr) )]
이다.
이때 전자는 에너지를 전자기파의 형태로 방출하거나 흡수한다. 전자기파의 에너지는
[math(\displaystyle E=h\nu )]
형태로 주어지고, 이것을 파장으로 바꾸면
[math(\displaystyle E=\frac{hc}{\lambda} )]
이므로
[math(\displaystyle \Delta \frac{1}{\lambda} =\frac{1}{\lambda_{n}}-\frac{1}{\lambda_{m}}=-\frac{h}{8\pi^{2}m_{\rm e} a_{0}^{2}c} \biggl( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\biggr) )]
이다.
위에서 제시된 보어 반지름을 대입하면 아래와 같은 꼴을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \Delta \frac{1}{\lambda} =\frac{1}{\lambda_{n}}-\frac{1}{\lambda_{m}}=-\dfrac{m_{\rm e}e^4}{8{\varepsilon_0}^2h^3c} \biggl( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\biggr) )]
이때, 앞에 붙은 상수를 뤼드베리 상수라 한다. 기호로는 [math(R_{\infty})]라 나타낸다.
3. 한계점
하지만 닐스 보어의 원자 모형은 아주 크나큰 한계점을 지니고 있었다.바로, 수소 이외의 원자들의 선 스펙트럼을 설명 할 수 없었다. 이 덕분에 보어의 원자모형에 오비탈이라는 가설이 더해졌다.
또한 새롭게 발견된 미세 구조(fine structure) 현상을 설명할 수 없다는 문제도 있고, 보어의 원자 모형에 적용된 가정에 따라 모든 전자는 에너지가 가장 낮은 바닥 상태에 몰린 상태로 존재해야 한다는 문제도 있다.
물리학자 조머펠트는 나트륨 증기에서 나타나는 선 중 하나를 정밀히 분석한 결과, 사실 그 선은 매우 가깝게 붙어있는 두 개의 선임을 알게 된다. 이런 현상을 미세 구조(finen structure)라고 한다. 보어의 원자 모형은 이를 설명하지 못했다.[1]
보어는 원자 내에서 전자가 가속하여 붕괴되는 고전 이론의 오류를 해결하기 위해 바닥 상태 개념을 도입했다. 하지만 이는 모든 전자가 안정적이기 위해 바닥 상태에서만 존재해야 한다는 문제가 있다. 따라서 껍질은 모두 채워질 수 없고, 최외각 전자가 존재하지 않을 수 있기 때문에 원소의 화학적 성질을 설명하기 힘들어진다. [2]