나무모에 미러 (일반/밝은 화면)
최근 수정 시각 : 2025-11-14 09:50:30

기하학 원론


1. 개요2. 제1권 법칙 333. 제1권 법칙 344. 제1권 법칙 375. 제1권 법칙 476. 관련 문서

1. 개요

원론(The Elements 또는 기하학 원론) 또는 유클리드 원론(The Elements of Euclid)은 기원전 300년 무렵에 유클리드가 편찬한 기하학 책이다. 수학의 성과를 집대성하여 체계화한 수학의 고전으로, 평면 기하 6권, 수론(數論) 4권,[1] 입체 기하 3권으로 되어 있다. 총 13권이다.[2][3][4]

거의 2천 년에 가까운 세월 동안 서양의 가장 기본적이고 공통적인 수학(기하학) 교과서였다. 성경, 돈키호테 등과 더불어 세계 역사상 가장 많이 출판된 책들 중 하나로 꼽힌다. 물론 이런 수식어들이 다 그렇듯 정확히 집계할 방법도 없다보니 그냥 엄청나게 많이 팔렸다고만 생각하면 된다.

의외로 동양 수학에서도 큰 역할을 했는데, 다름 아닌 '기하'라는 단어가 현재의 용법으로 처음 사용되었다는 점이다. 마테오 리치와 서광계가 이 책을 한문으로 번역하면서 "(값이) 얼마인가?"를 "幾何"라고 옮겼고, 초반에 역법, 지리 등에서 측량을 다루는 카테고리를 일컫을 때 "기하부(幾何府)"라는 표현을 사용했다. 이렇게 '기하'는 단순히 값을 물어보는 의문문에서 벗어나, 현재 통용되는 "geometry"의 의미로 정착되기에 이른다.

2. 제1권 법칙 33

파일:geometry_1_34.svg
제1권 법칙33은 밑변 선분 CD\mathrm{CD}가 선분 AB\mathrm{AB}와 평행하고 그 길이가 같다면 또한 선분 AC\mathrm{AC}가 선분 BD\mathrm{BD}와 평행하고 그 길이가 같다는 평행사변형의 정리.
이것은 삼각형의 넓이 \left( {{1}\over{2}} \cdot 밑변 \cdot 높이 \right)는 사각형의 넓이의 12{{1}\over{2}} 임을 말하며 유클리드 기하학의 주요 핵심이다.

3. 제1권 법칙 34

파일:geometry_1_34.svg
제1권 법칙34는 밑변 선분 CD\mathrm{CD}가 선분 AB\mathrm{AB}와 평행하고 그 길이가 같다면 그리고 또한 선분 AC\mathrm{AC}가 선분 BD\mathrm{BD}와 평행하고 그 길이가 같다.(제1권 법칙 33)
이러한 평행사변형은 맞모금(또는 대각선) 선분 BC\mathrm{BC}에 의해 이등분된다는 것이다.

4. 제1권 법칙 37

파일:geometry_1_41.svg
제1권 법칙37은 대표적인 등적변형(equiareal transform)의 예이다. 밑변 선분 BC\mathrm{BC}를 공통으로 갖는 두 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 DBC\mathrm{DBC}가 그들의 윗 꼭짓점에서 서로 연결한 선분 AD\mathrm{AD}가 밑변 선분 BC\mathrm{BC}와 서로 평행하다면 제1권 법칙33에 의해서 선분 AD\mathrm{AD}의 연장선인 선분 EF\mathrm{EF}에서 역시 AC\mathrm{AC}에 평행한 EB\mathrm{EB}를 구할 수 있고 BD\mathrm{BD}에 평행한 CF\mathrm{CF}를 구할 수 있다. 따라서 제1권 법칙34에 의해서 평행사변형 ACBE\mathrm{ACBE}는 평행사변형 DBCF\mathrm{DBCF}와 그 크기가 같고, 따라서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 DBC\mathrm{DBC}가 각각 사각형 ACBE\mathrm{ACBE}와 DBCF\mathrm{DBCF}를 이등분한다는 것이다.
Triangles (ABC, DBC) on the same base (BC) and between the same parallels (AD, BC) are equal.
같은 밑변(BC)과 같은 평행선(AD, BC) 사이의 삼각형(ABC, DBC)은 같습니다. (제1권 법칙 37)

5. 제1권 법칙 47

제1권 법칙47은 피타고라스 정리를 등적변형 및 평행사변형의 정리(제1권 법칙33,34,37등)를 사용하여 기하학적으로 설명하고있다.[5]
파일:geometry_1_47.svg
선분 AC\mathrm{AC}와 선분 AK\mathrm{AK}가 그 길이에서 같고 선분 AB\mathrm{AB}와 선분 AG\mathrm{AG}가 또한 그 길이에서 같다. 따라서 삼각형 AKB\mathrm{AKB}는 삼각형 AGC\mathrm{AGC}와 같다.

계속해서 제1권 법칙37에 의해서 밑변 선분 AK\mathrm{AK}를 공통으로 갖는 △AKB\triangle\mathrm{AKB}는 사각형인 평행사변형 AKHC\mathrm{AKHC}를 이등분하는 크기의 삼각형이다.

또한 밑변 선분 AG\mathrm{AG}를 공통으로 갖는 삼각형 AGC\mathrm{AGC}는 사각형인 평행사변형 AGLO\mathrm{AGLO}를 이등분하는 크기의 삼각형이다.

그리고 △AKB\triangle\mathrm{AKB}와 △AGC\triangle\mathrm{AGC}는 같다.

따라서 사각형 AKHC\mathrm{AKHC}는 AGLO\mathrm{AGLO}와 같고 이와같이 사각형 CBED\mathrm{CBED}는 BOLF\mathrm{BOLF}와 같다.

따라서
□AKHC+□CBED=□AGLO+□BOLF\square \mathrm{AKHC} + \square \mathrm{CBED} = \square \mathrm{AGLO} + \square \mathrm{BOLF}
AC2‾+CB‾2=(AO‾+BO‾)2\overline{\mathrm{AC}^2} + \overline{\mathrm{CB}}^2 = \left( \overline{\mathrm{AO}} + \overline{\mathrm{BO}} \right)^2
AC‾2+CB‾2=AB‾2\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{CB}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2

6. 관련 문서

[1] 당시 수론은 현재의 정수론에 해당한다. 다만, 제10권에서는 [math(\sqrt{2})] 등의 무리수도 등장하는데 약분 가능성(commensurability) 및 현대와 다른 무리수의 정의 등 현재의 기준으로 보면 이질적인 이론들이 다수 서술되어 있다.[2] 우리말샘[3] 프로젝트 구텐베르크 The Elements of Euclid by John Casey 1885 The First Six Books - https://www.gutenberg.org/ebooks/21076[4] \[전집 총13권 3부작\](archive.org) The thirteen books of Euclid's Elements by Euclid; Heath, Thomas Little, Sir, Volume 1 영문판 1908(1956) # Volume1(436P),Volume2(464P),Volume3(422P)[5] THE FIRST SIX BOOKSOF THEELEMENTS OF EUCLID,ANDPROPOSITIONS I.-XXI. OF BOOK XI.,AND ANAPPENDIX ON THE CYLINDER, SPHERE,CONE, ETC.,WITHCOPIOUS ANNOTATIONS AND NUMEROUS EXERCISES.BYJ O H N C A S E Y, LL. D., F. R. S.,프로젝트 구텐베르크 -https://www.gutenberg.org/ebooks/21076

분류