, 전기력
1. 개요
| 구각 정리의 모식도[1] |
shell theorem
구각 정리는 균일한 밀도를 가지는 구각(구 껍질)[2] 내·외부의 힘이 어떻게 되는지 구하는 문제이다.
아이작 뉴턴이 처음 이 문제를 해결했기 때문에 뉴턴의 구각 정리라고도 부른다.
2. 사전 지식
| 학부 고전역학 수준으로 서술한 것은 이곳을 참고하라. |
우리는 이 문서에서 닫힌 궤도를 존재시키며, 원천과 관측 지점 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 중심력 [math(\mathbf{F})]에 대한 구각 정리를 유도할 것이다. 해당 힘은 대표적으로 중력과 전기력이 있으며, 이들은 퍼텐셜이 [math(\Phi)]라는 개념을 도입해, 퍼텐셜의 음의 그레이디언트
| [math(\displaystyle \mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi )] |
| [math(\displaystyle \mathbf{F}(|\mathbf{r-r'}|)=\frac{\alpha m(\mathbf{r'}) (\mathbf{r-r'})}{|\mathbf{r-r'}|^3} )] |
| [math(\displaystyle \frac{{\rm d}m(\mathbf{r'})}{{\rm d}V'} \equiv \rho(\mathbf{r'}) )] |
| [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=\alpha\iiint_{V} \frac{ \rho(\mathbf{r'}) (\mathbf{r-r'})}{|\mathbf{r-r'}|^3} \,{\rm d}V' )] |
퍼텐셜을 구하고, 다시 힘을 구하는 것은 수학적인 편리성 때문이다. 힘 자체는 벡터 물리량이기 때문에 다루기 힘들어, 스칼라 물리량인 퍼텐셜을 먼저 구하여, 음의 그레이디언트로 다시 환원하는 것이다. 위에서 주어진 중심력의 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
| [math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha\iiint_{V} \frac{ \rho(\mathbf{r'}) }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}V' )] |
| [math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha \rho \iiint_{V} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}V' )] |
| [math(\displaystyle \iiint_{V} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}V' )] |
우리가 구각을 다루고 있으므로 구면좌표계를 이용해야 할 것이다. 구면좌표계에서 부피 요소는 [math({\rm d}V'=r'^{2}\,{\rm d}r' {\rm d}\Omega')](단, [math(\Omega)]는 입체각이다.)로 주어진다. 따라서 위 적분은
| [math(\displaystyle \oiint_{\Omega}\int \frac{ r'^{2} }{|\mathbf{r-r'}|} \,{\rm d}r'\,{\rm d}\Omega' )] |
| [math(\displaystyle \frac{1}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') )] |
| [math(\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \frac{r'^{2}r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\,{\rm d}r \oint_{\Omega}Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') \,{\rm d}\Omega' )] |
| [math(\displaystyle \oint_{\Omega }Y_{l'}^{m'\ast}(\theta',\,\phi') Y_{l}^{m}(\theta',\,\phi')\, \mathrm{d} \Omega'=\delta_{ll'}\delta_{mm'} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{(4\pi)^{3/2}}{2l+1}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \frac{r'^{2}r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\,{\rm d}r' \oint_{\Omega}Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ')Y_{0}^{0}(\theta',\,\phi') \,{\rm d}\Omega' \\ &=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{(4\pi)^{3/2}}{2l+1}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \delta_{l0}\delta_{m0}\int \frac{r'^{2}r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}\,{\rm d}r' \\&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} (4\pi)^{3/2}Y_{0}^{0}(\theta,\, \phi) \int \frac{r'^{2}r_{<}^{0}}{r_{>}^{1}}\,{\rm d}r' \\&=4\pi \int \frac{r'^{2}}{r_{>}}\,{\rm d}r' \end{aligned} )] |
이상에서 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.
| [math(\displaystyle \Phi(r)=4\pi \alpha \rho \int \frac{r'^{2}}{r_{>}}\,{\rm d}r' )] |
3. 구각 정리의 유도
그림과 같이 안쪽 반지름이 [math(a)], 바깥 반지름이 [math(b)]인 구각을 고려해보자.
[1] 공동 내: [math(r<a)]
이 경우 [math(r_{>}=r')]이므로
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=4\pi \alpha \rho \int_{a}^{b} r'\,{\rm d}r' \\&=2\pi \alpha \rho (b^2-a^{2}) \qquad (r<a) \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}(r)=\mathbf{0} \qquad (r<a) \end{aligned} )] |
[2] 구각 외부: [math(r>b)]
이 경우 [math(r_{>}=r)]이므로
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=\frac{4\pi \alpha \rho}{r} \int_{a}^{b} r'^{2}\,{\rm d}r' \\&=\frac{4\pi \alpha \rho}{3r} (b^3-a^3) \\&=\frac{\alpha M}{r} \qquad (r>b) \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (b^3-a^3) =M \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}(r)=\frac{\alpha M}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}} \qquad (r<a) \end{aligned} )] |
[3] 구각 내부: [math(a<r<b)]
이 문제의 가장 어려운 점은 관측점 [math(\rm P)]가 구각 내부([math(a<r<b)])에 있을 때의 중력 퍼텐셜을 구해내는 것이다.
위 그림과 같이 반지름 [math(r)]인 구면을 하나 고려하게 되면, 구각은 두 부분으로 나누어진다:
- 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 외부에 있는 경우: [math(a \sim r)] 영역
- 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 내부에 있는 경우: [math(r \sim b)] 영역
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=\frac{4 \pi \alpha \rho}{3r} (r^{3}-a^{3})+{2 \pi \alpha \rho} (b^{2}-r^{2}) \\ &=\pi \alpha\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 퍼텐셜과 힘의 관계에 의하여
[math(\displaystyle \mathbf{F}(r)=\frac{4 \pi \alpha \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \mathbf{\hat{r}} )]
[4] 결과 종합
이상의 결과를 종합하면, 퍼텐셜의 경우
[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle {2 \pi \alpha\rho} \left(b^{2}-a^{2}\right) &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle \pi \alpha\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha\rho}{3r}\left(b^{3}-a^{3}\right) &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
중력장의 경우
[math(\displaystyle \mathbf{F}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{0} &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \mathbf{\hat{r}} &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha\rho}{3r^{2}}\left (b^{3}-a^{3}\right) \mathbf{\hat{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
따라서 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.
그러므로 퍼텐셜은 경계에서 연속이다. 또한, 구각의 외부([math(r>b)])에서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &\propto \frac{1}{r^{2}} \\ F(r) &\propto \frac{1}{r} \end{aligned} )]
참고적으로 이 결과는 중심력장에 대한 가우스 법칙을 이용해도 같은 결과를 얻는다.
4. 밀도가 불균일한 경우 공동 내부의 힘
이 구각 정리의 묘미는 구각의 공동의 내부엔 받는 힘이 없다는 것을 밝혀낸 것이다. 그렇다면, '밀도가 불균일해도 이 사실은 성립하는가?'라는 생각을 가질 수도 있다. 결론부터 말하면 이는 성립한다. 단, 이때 밀도의 불균일성은 대칭적이어야 한다. 구의 한 부분에만 밀도가 높고 나머지 부분은 낮다면 성립하지 않는다. 또한 두께가 불균일해도 성립하지 않는다.[5]중심력장에 대한 가우스 법칙을 이용하면, 장의 선속은 곧 가우스 폐곡면 안에 든 원천의 밀도에 비례함을 알 수 있다. 그러나, 공동 내부의 가우스 폐곡면에는 이 밀도가 전혀 포함되지 않으므로 선속은 0이 된다. 이것이 일반적으로 성립하려면 장이 없어야 하는데, 이는 힘을 받지 않음을 알 수 있다.
그렇기 때문에 지구의 내부에 공동이 있다면, 중력이 존재하지 않는 받지 무중력 상태가 되는데, 그렇기에 지구공동설을 반박하는 근거로 잘 쓰인다.
5. 속이 꽉찬 구의 경우
속이 꽉찬 구의 경우 위 구각 정리의 결과에서 [math(a \to 0)]으로 놓으면 된다. 퍼텐셜의 경우[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \pi \alpha \rho \left( 2b^{2}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi b^{3} \alpha \rho}{3r} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
특히 [math(r>b)]인 영역에서 [math(4 \pi b^{2} \rho/3 \equiv M)]이라 하여 원천의 전체 크기로 표기하면,
[math(\displaystyle \Phi(r)= \frac{\alpha M}{r} \quad (r>b))]
이므로 구에 해당하는 원천의 크기가 구 중심에 있는 상황과 같다. 즉, 구면 대칭이 있는 계는 그 계와 동일한 점이 계의 중심에 놓인 상황과 같다. 또한, 퍼텐셜은 연속이다.
힘은 다음과 같이 결정된다.
[math(\displaystyle \mathbf{F}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{4 \pi \alpha \rho}{3}{\mathbf{r}} &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4 \pi \alpha \rho b^{3}}{3r^{2}} \mathbf{\hat{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
위 결과의 [math(r)]에 대한 그래프는 다음과 같다.
이 경우 구의 내부에 들어갈 수록 힘의 크기는 감소한다. 즉, 지구 내부로 들어갈 수록 중력은 작아지는 것이다.
이 사실을 이용하면 한가지 흥미로운 생각을 할 수 있는데, 일반 상대성 이론에 의하면 시간은 중력이 센 곳에서 느리게 흐른다. 바꿔말하면, 지표면보다 지구 내부의 중력이 약하기에 지구 내부로 들어갈 수록 지표면에 비해 시간은 빠르게 흐른다...라고 생각할 수 있지만, 시간지연은 단순히 중력이 강하면 발생하는건 아니기 때문에 직접 계산해보면 거리가 늘어날수록 시간지연의 효과는 줄어든다. 즉, 지구 내부든 외부든 거리가 멀어질수록 안쪽에 비해 시간이 빨리 흐른다. 실제로 이러한 효과 때문에 지구 핵의 나이는 지표면보다 약 2.5년 젊다고 한다.# 다만 지구의 역사가 45억년 정도 인 것을 고려하면, 0.0000000003초 정도 느리게 흐르는 것이다.[6]
6. 표면 밀도가 있는 경우
이번에는 반지름 [math(b)]인 얇은 구 껍질을 고려하자. 이 경우에는 위 케이스에서 [math(a \to b)]인 극한을 취한 경우와 동치이다.이러한 물체는 표면 밀도 [math(\sigma(\mathbf{r'})={\rm d}m(\mathbf{r'})/{\rm d}A')]를 도입하는 것이 편리하다. [math({\rm d}A')]는 면적 요소이다. 표면 밀도는 일정하다고 가정하자.
이 문제가 구대칭성을 갖기 때문이 마찬가지로 구면좌표계에서 계산을 행한다.
| [math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha \sigma \iint_{S} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-\mathbf{b}}|} \,{\rm d}A' )] |
| [math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\alpha \sigma b^{2} \oint_{\Omega} \frac{ 1 }{|\mathbf{r-\mathbf{b}}|} \,{\rm d}\Omega' )] |
| [math(\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{4\pi \alpha \sigma b^{2}}{r_{>}} )] |
[math(\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 4\pi \alpha \sigma b &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{4\pi \alpha \sigma b^{2}}{r} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
음의 그레이디언트를 취함으로써 힘을 얻는다.
[math(\displaystyle F(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{0} \\ \\ \displaystyle \frac{4\pi \alpha \sigma b^{2}}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. )]
이역시 [math(M =\sigma \cdot 4\pi b^{2})]의 전체 원천의 크기를 도입하면
| [math(\displaystyle \mathbf{F}=\frac{\alpha M}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}} )] |
[math(r)]에 대한 위 결과의 그래프는 아래와 같다.
이 경우는 특이한 점을 관찰할 수 있는 데, (부피) 밀도만 있는 경우 경계에서 경계면에 수직인 성분(이 문서에선 방사적인 힘을 다루기 때문에 구한 힘의 성분 자체가 해당 성분이다.)은 연속이었다. 그러나 표면 밀도가 있는 경우 그렇지 않는 것을 알 수 있다. 따라서 표면 밀도는 경계면에 수직인 성분의 불연속을 야기한다.
7. 결론
- 밀도의 구면 대칭성을 가진 물체의 힘은 내외부 모두 중심에 대하여 방사적이다.
- 밀도의 구면 대칭성을 가지는 물체 공동 내에서는 받는 힘이 없다.
- 밀도의 구면 대칭성을 가질 경우 해당 물체는 해당 물체의 중심에 같은 원천의 크기를 갖는 점이 있다고 대치할 수 있다.
- 표면 밀도는 경계에서 장의 표면에 대한 수직 성분의 불연속을 야기한다.
8. 여담
이 구각 정리에 관련한 문제가 2019학년도 대학수학능력시험 국어 영역 31번에 출제되기도 했다.[7] 이 문서와 같이 수학적으로도 어려운데, 그것을 글로 풀어서 설명한 것을 읽고 단시간 내 선지에서 올바른 답을 고르는 건 국어 영역에 대한 훈련이 철저히 되어 있지 않았다면 어려웠을 것이다. 결국 한국교육과정평가원은 문제 이의 제기 검토 결과를 발표하면서 학생들에게 사과를 했다.[8] 참고로 정답은 2번이며, 이 구각 정리는 물리학과 2학년 고전역학 과목을 배우면서 접하게 된다.[9]
[1] 그림에 나타난 힘의 방향은 관측하는 힘이 척력이 될 수도 인력이 될 수 있으므로 문제가 없다.[2] 쉽게 말하면 속이 비어 있는 공이다.[3] 자세한 사항은 분리 벡터 문서를 참조한다.[4] 중력의 경우 음의 중력 상수 [math(-G)], 전기력의 경우 [math((4\pi \varepsilon_{0})^{-1})]이다. [math(\varepsilon_{0})]은 진공에 대한 유전율이다.[5] 조금만 생각해봐도 당연하다. 밀도나 두께가 대칭적이지 않다면 대칭적인 구각에 해당하는 부분을 제외하면 당연히 중력도 비대칭적으로 나올 수 밖에 없다.[6] 이러한 사실을 차용해서 전개한 작품에는 메이드 인 어비스가 있다.[7] 물론 문제 접근 방법이나 대상은 이 문서와는 좀 다르다. 왜냐하면, 해당 문제에서는 구에 대한 중력을 구하는 문제였으며, 그 구를 매우 얇은 구각으로 나눈 뒤 각각의 중력을 더해서 구할 수 있다고 했기 때문이다. 그러나 기본적인 원리는 이 문서 또한 같으며, 이에 구각을 매우 작은 부피 요소로 나누고 각각에 대한 중력 퍼텐셜을 더하여, 구각의 중력 퍼텐셜을 구하고 이를 통해 구각에 의한 중력장을 구했다.[8] 그런데 이 문제는 단순히 작용 반작용의 법칙만 기억하고 있어도 답을 고를 수 있다. 답이 되는 보기는 '태양의 중심에 있는 질량이 [math(m)]인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은, 지구의 중심에 있는 질량이 [math(M)]인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력과 크기가 같겠군.'인데 작용 반작용 법칙을 생각하면, 당연히 '태양의 중심에 있는 질량이 [math(m)]인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력'은 '지구 중심에 있는 질량 [math(M)]인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력'과 같은 것이 아니라 '지구 전체가 태양 중심에 있는 질량 [math(m)]인 질점을 당기는 만유인력'과 같다는 것을 알 수 있다.[9] 사실 행렬과 구면좌표의 공간적분으로 수학적으로 정밀하게 접근하는게 2학년일 뿐, 구각정리 자체는 물리II나 학부 1학년 물리학 교재에도 나온다. 공간장을 다루는 맥스웰 방정식까지 나오는데 구각정리가 안 나올리 없다.