부등호

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1. 개요

[math(<, >, \leq, \geq, \leqslant, \geqslant, ≠)]
不等號 / inequality symbol, inequality sign

수와 식 물건 등의 양변이 같지 않다는 것을 나타내는 기호를 뜻하며 주로 [math(<, >, \leq, \geq)]라는 순서와 우월함과 왜소함, 크고 작음을 비교하고 나타내는 기호를 뜻한다. [math(\neq)]는 크기에 상관없이 식이 성립되지 않을 때 사용하므로, 대소관계를 비교할 수 없기에 실제 사용에서 부등호 종류에는 대개 포함시키지 않는다.

한글 윈도우 기준으로 ㄷ + 한자에서 나오는 특수 기호 목록을 통해 전각 문자 부등호 기호를 입력할 수 있다.
<(,+shift), >(.+shift), ＜(ㄷ+한자+3), ＞(ㄷ+한자+5), ≠(ㄷ+한자+9), ≤(ㄷ+한자→2번째 행 1번), ≥(ㄷ+한자→2번째 행 2번).

2. 역사

영국의 수학자인 윌리엄 오트레드(William Oughtred, 1574~1660)[1]가 처음으로 부등호 개념을 만들었으며, [, ]로 부등호를 표시했다.

현재 사용하는 [math(<, >)] 형태의 부등호는 역시 같은 시대 영국 수학자이자 천문학자[2]인 토머스 해리엇(Thomas Harriot, 1560-1621)이 창안했다.

[math(\leq)]와 [math(\geq)](이하 약부등호)[3]는 원래 부등호와 등호([math(=)])를 합쳐 만든 것으로 해리엇 이후 약 1세기 후에 바우어(1698-1758)에 의해 쓰였다. 당시에는 아랫줄이 두 줄([math(≦, ≧)])이었으나, 잉크 절약 등의 문제로 점차 한 줄만 그어도 약부등호의 의미를 지니게 되었다. 21세기에는 전세계적으로 일본을 제외하면 한 줄짜리 약부등호가 주류로 자리잡았다.

한국에서는 아랫줄 2개인 부등호를 쓰다가,[4] 강부등호(<, >) 아랫부분과 평행하게 한 줄 긋는 [math(⩽)]와 [math(⩾)]로 바꿔 잠깐 사용하다[5] 현재 출판물에는 [math(≤)]와 [math(≥)]를 사용한다.

3. 종류

[math(<, \lneq)]: 해당 숫자 미만(less than ~). 후자는 같지 않음을 다시금 강조하는 표기이다.
[math(>, \gneq)]: 해당 숫자 초과(greater than ~). 후자는 같지 않음을 다시금 강조하는 표기이다.
[math(\leq, \leqslant, \leqq)]: 해당 숫자 이하(less than or equal to ~). 프로그래밍 언어에서는 <=로 표현.
[math(\geq, \geqslant, \geqq)]: 해당 숫자 이상(greater than or equal to ~). 프로그래밍 언어에서는 >=로 표현.
[math(\ll, \lll, \gg, \ggg)]: 각각 <와 >의 강조이다. 자주 쓰이는 편은 아니나, 물리학 관련 학문을 익히다보면 자주 나온다. 보통 '특정한 변수가 특정한 상수보다 충분히 크거나 작을 때, 분자 혹은 분모의 특정한 항을 무시할 수 있다.'와 같은 맥락에서 나온다. 프로그래밍 언어에서는 비트 연산을 의미하는데, <<와 >>은 각각 숫자의 이진수 표현을 왼쪽 혹은 오른쪽으로 민다 (bit shift).
[math(⋦, ⋧)]: 확실하게 작다/크다를 좀 더 엄밀하게 표현한 것.(사람과 책에 따라서는 차이가 비슷할 때를 의미하는 기호(바로 아래의 4종)로도 쓴다.)
[math(\lesssim, \lessapprox, \gtrsim, \gtrapprox)]: 두 수의 차이가 작지만 대소관계가 명확할 때 사용한다.
[math(\neq)]: 등호에 슬래시를 그은 것으로 크기에 무관하게 일방적으로 식이 성립되지 않거나 서로 값이 같지 않음을 나타낼 때 사용한다. 예를 들어 [math(1≠2)]와 같은 경우 저 기호를 사용할 수 있다. 마찬가지로 영어 'inequality'는 [math(<, >, ≤, ≥)]를 의미하지 [math(≠)]는 보통 제외한다. 해당 표현과 부등호를 포괄하는 표현은 'inequation.' C언어의 영향을 받아 대부분의 프로그래밍 언어에서는 !=로 표현. 다만 Python 2와 Microsoft Excel 수식에서는 <>라는 표현을 사용한다.
[math(\nsim)]: 크기와 상관없이 근사할 수 없음을 나타낸다.
[math(\nless, \ngtr, \nleq, \ngeq)]: 위 부등호의 부정 표현. 주로 증명에서 크기 여부가 확실하지 않을 때 사용한다.
[math(⋚, ⋛)]: 등호와 부등호가 모두 성립한다는 의미다.
[math(≆, ≇)]: 전자는 같지 않지만 차이가 작을 때 쓰고, 후자는 차이가 명확하게 클 때 쓴다.

4. 활용

4.1. 수학

방정식에서 등호 대신 부등호가 들어간 것을 부등식이라고 하며 자세한 것은 해당 문서 참조.

복소수 이상에서는 일반적으로 순서공리가 성립하지 않아 크기를 비교할 수 없기 때문에 저 중 ≠만 쓰인다. 다만 수학 이외의 영역에서 저자와 독자간의 '약속'에 의해 그 외 표기법을 쓰기도 한다. 예컨대 MWG 고급 미시경제학에서는 순서 관계가 없는 [math(n)]차원 유클리드 벡터에 대해서도 부등호를 적극 사용한다. 가령 [math(\bold{u}= (u_1, \cdots, u_n))], [math(\bold{v}= (v_1, \cdots, v_n))]에 대해, [math(\forall i = 1, \cdots, n, u_i\geq v_i)]이라면 [math(\bold{u}\geq \bold{v})]라고 쓰고, [math(\forall i = 1, \cdots, n, u_i > 0)]이면 [math(\bold{u} \gg \bold{0})]으로 쓰기로 '약속'하는 식이다. 또한 실수집합이 아닌 임의의 집합에서도 순서가 정의되면 그 순서 관계(order relation)를 부등호로 표현하기도 한다. 즉 실수 이외의 경우에 부등호를 썼다고 해서 반드시 잘못되거나 수알못이라고 볼 건 아니다. ~~다만 저자가 그 정의를 명시하지 않거나 잘 정의되지 않았다면 수알못 맞다.~~ 한편 순서 관계를 보다 일반적으로 다룰 때에도 [math(<, \leq, >, \geq)]라는 안이한(?) 기호가 쓰이는 것을 아니꼬워하는 학자들은 [math(\prec, \preceq, \succ, \succeq)]라는 기호를 쓰기도 한다. 대수적 구조의 부분구조를 표시할 때 선형부분공간 [math(W \leq V)], 부분군 [math(H \leq G)]처럼 [math(\leq)] 등의 부등호를 전용하여 표기하는 경우가 있어서인데, 이 또한 수업시간에나 교과서 서술 등에서는 '크다', '작다' 등으로 표현되기도 한다는게 재밌는 부분이다. 이런 휘어진 기호는 부등호라기보다는 순서부호라 하는게 적절하겠지만, 이 기호들이 부등호랑 너무 비슷하게 생겼기에 판서나 손글씨에서 구분하지 않고 쓰는 관례가 인쇄체에까지 이어져서 순서 관계를 논할 때에도 부등호를 쓰는 경우가 많아진 것이기도 하다. 순서 관계에 대해 논할 때에는 순서부호 대신 그냥 평범한 부등호를 쓰더라도 순서 구조가 주어진 집합의 이름을 아래첨자로 붙여 [math(\preceq)]_[math(A)], [math(\leq)]_[math(B)]라 쓰거나 [math(\preceq)][math(')], [math(\leq)][math(')] 같은 형태로 표기하기도 한다.

4.2. 그 외 활용

흡사한 형태 때문에 홑화살괄호(〈, 〉)를 써야할 곳에 부등호를 대신 쓰는 경우가 있다. 육안으로 볼 때에는 비슷한 데다가 컴퓨터 키보드 화면에서 홑화살괄호를 입력하기 어렵기 때문이다.[6]

나무위키에서는 인용문을 쓸 때 사용되는 문법으로 "> 인용문" 이런 식으로 입력한다.

이모티콘에 쓰이는 경우가 있다. >_<, >0< 식으로. 감정이 격해졌을 때 자주 사용되는 표현. 애니메이션이나 일러스트, 각종 채팅에도 자주 사용된다.

부등호 중 '<'의 경우에는 대화창의 왼쪽에 자신의 닉네임이나 프로필 사진이 상대방한테 표시된다는 점을 이용해 자신이 그렇다는 것을 알려주는 용도로 현대 SNS에서 많이 사용되고 있다. '←'의 역할을 대신한다고 볼 수 있다. '<'는 키보드에 바로 배정되어있기 때문에 접근성이 더욱 좋기 때문. '< 백수' 와도 같이 예시를 들 수 있다. ~~예시가 너무 슬프잖아~~

5. 기타

흔히 굵직한 떡밥을 논할 때 자주 나오는 기호 중 하나다.
인터넷에선 이런 부등호 놀이가 유행하는데, 일본 인터넷에서 출발했다는 설이 있으며 특히 'EU > NA, NA > EU' 같은 부등호 놀이가 있다. 이것이 진화하면 넘사벽이 된다.
‘<’와 ‘>’는 파일 이름으로 사용할 수 없는 문자들 중 하나다. 때문에 해당 문자를 굳이 파일명에 넣어야 된다면 전각 문자(＜, ＞) 또는 홑화살괄호(〈. 〉)로 대체해야 된다.
유튜브에서 영상 제목이나 설명에는 <랑 >를 사용할 수 없으므로 [math(<)]랑 [math(>)]를 사용해야 한다.
HTML/태그 대응이 되는 게시판이나 커뮤니티 등을 이용한 기억이 있는 사람이라면 온라인 상에서 습관적으로 피하게 되는 기호다. <와 >로 양쪽을 묶는 형태로 특정 단어나 문장을 작성할 쓸 경우 당장 글을 쓴 곳이 HTML/태그 대응을 막아놓은 곳이라고 할 지라도, HTML/태그 대응이 되는 다른 곳으로 퍼날라지거나 스스로 옮겨갈 때 부등호에 묶인 내부가 태그로 인식되어 누락되는 사고가 발생할 수 있기 때문이다. 실제로 간혹 온라인을 통해 기사를 읽다보면 등장하는 책 제목이나 영화/드라마 제목 등을 특수문자라 쓰기 번거로운 홑화살괄호를 대신한 부등호로 묶어서, 제목이 중요한 기사인데 제목만 죄다 누락되어 있는 실수를 발견할 수도 있다.

[1] 원래 수학 교수는 아니었으나 그의 저서 《수학의 열쇠 Clavis Mathematicae》(1631)에서 산술과 대수를 논하여 수학 역사에 크게 공헌했다.[2] 지금은 수학자로서 더 유명하지만 유럽에서 태양 흑점을 단독으로 발견하고 목성 위성을 연구한다든지 당시에 천문학자로도 유명했다. 다만 흑점 항목을 보면 발견자는 오래전부터 있었으며 무엇보다 중국만 해도 후한 시대, 즉, 1500년도 더 된 옛날에 흑점을 발견하고 연구한 기록이 있다![3] 수학에서 '약(弱)'의 의미는 조건 등이 다소 완화된 것을 의미한다. 반대로 엄격한 것을 일컬을 때 '강(强)'을 붙인다.[4] 일제강점기 등의 이유로 서양 문물을 주로 일본을 통해 받아들이면서 일본의 표준 표기, 즉 등호 표시로 두 줄 긋는 약부등호를 받아들였다. 주된 기호가 바뀐 21세기 한국에서도 한석원, 삽자루 등을 비롯해 학교나 학원에서도 나이가 많은 교사나 강사는 [math(≦)]와 [math(≧)]를 사용하는 경우가 꽤 자주 보인다.[5] 한국에선 요즘 잘 안 보이지만 외국에 나가면 이 형태 또한 간간히 보인다. 외국 원서의 번역본으로서 국내에 출판된 서적도 이런 식으로 표기된 경우가 많다. 수학 강사 정승제가 이와 비슷한 형태로 쓰는 것을 볼 수 있으며 혹시 누군가가 저렇게 쓴다면 [math(≤, ≥)]라는 의미이다.[6] 실제로 TeX 문법에서는 홑화살괄호를 쓸 때 부등호에 괄호 크기 조정 문법을 덧붙여 사용한다. 예) \left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right> → [math(\left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right>)]

부등호