초공식

상위 항목: 수학 관련 정보

Superformula

1. 개요2. 높은 차원으로 확장3. 일반화4. 예시

1. 개요

2000년 Johan Gielis에 의해 정리된, 초타원(superellipse)의 일반화 공식이다.
Gielis는 공식이 자연에서 발견될 수 있는 많은 복잡한 형상들을 묘사할수 있다고 제의했다. Gielis가 초공식에 의해 생성된 여러 가지 패턴들의 통합과 관련된 것들에 특허를 지니고 있다고 한다.

r

이 반지름,

\varphi

가 각도인 극좌표계에서, 초공식은 이렇게 표현이 된다.

\displaystyle \mathrm r(\varphi) = \left(\left|\frac{\cos\left(\frac{m_1\varphi}{4}\right)}{a}\right|^{n_2}+\left|\frac{\sin\left(\frac{m_2\varphi}{4}\right)}{b}\right|^{n_3}\right)^{\frac{-1}{n_1}}

a,b,m_1,m_2,n_1,n_2,n_3

의 서로 다른 변수의 값을 바꿈으로서 다른 모양들이 생성될수있다.

이 공식은 초타원(superellipse)를 일반화하던 도중 도출되었다.

2. 높은 차원으로 확장

이 공식은 3,4차원 또는 더 높은 차원의 형식으로 확장이 가능하며, 초공식의 구면계를 의미한다. 예를들자면, 3D 파라메트릭 곡면은 두개의 초공식 r1과 r2를 곱함으로서 얻을수있다. 좌표는 이러한 관계로 정의될수있다.

x = r_1(\theta)\cos\theta*r_2(\phi)\cos\phi

y = r_1(\theta)\sin\theta*r_2(\phi)\cos\phi

z = r_2(\phi)\sin\phi

\phi

(위도)의 값은

-\pi/2

그리고

\pi/2

사이에,

\theta

(경도)의 값은

-\pi

와

\pi

에 위치한다.

3. 일반화

초공식은 매개변수 m을 y와 z로 바꿈으로서 일반화할수있다.

\displaystyle \mathrm r(\varphi) = \left(\left|\frac{\cos\left(\frac{y\varphi}{4}\right)}{a}\right|^{n_2}+\left|\frac{\sin\left(\frac{z\varphi}{4}\right)}{b}\right|^{n_3}\right)^{\frac{-1}{n_1}}

이는 순환적 비대칭형과 계층적 구조를 만들어낸다. 다음의 예제에서의

a,b,n_2, n_3, n_3

는 1일때 다른값을 조정할경우 나타나는 형태이다.

4. 예시

GNU Octave에서 그리는법은 이렇다.

function sf2d(n, a)[bru = [0:.001:2 * pi];
raux = abs(1 / a(1) .* abs(cos(n(1) * u / 4))) .^ n(3) + abs(1 / a(2) .* abs(sin(n(1) * u / 4))) .^ n(4);
r = abs(raux) .^ (- 1 / n(2));
x = r .* cos(u);
y = r .* sin(u);
plot(x, y);
end

초공식

1. 개요

2. 높은 차원으로 확장

3. 일반화

4. 예시

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