원하는 물의 양 얻기

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1. 개요

2. 문제 1

3. 문제 2

4. 해설

[해설 보기 / 접기]

좀 더 일반적인 해법으로 '작은 통에 있는 물을 큰 통에 옮기는 것을 반복'하다보면 원하는 물의 양을 무조건 얻을 수 있다. 문제 1의 경우 아예 3L통을 채우고 7L통을 채우는 행동을 5번 하면서 문제를 풀었고, 문제 2도 마찬가지로 3갤런들이 통을 채우고 5갤런짜리 통을 채우다 보면 마찬가지로 정답을 얻을 수 있다.

조금 더 수학적으로 접근해보면, 두 개의 통으로 만들어낼 수 있는 양은 통의 용량의 최대공약수와 관계가 있다. 바로 최대공약수의 배수 만큼은 만들어낼 수 있는 것. 예를 들어 10과 25의 경우 최대공약수가 5이므로 5의 배수(5, 10, 15, 20, 25)의 양만 만들 수 있고, 3과 5의 최대공약수는 1이므로 3갤런과 5갤런들이 통으로는 1부터 5까지 어떤 용량이건 만들 수 있게 된다. 즉, 두 수가 서로소인 경우 가장 큰 용량에 해당하는 모든 자연수의 양을 만들 수 있다는 것.

통을 채우는 것을 더한다고 하고, 통을 비우는 것을 빼는 것으로 생각하면 문제 1의 경우 3L통을 4번 채우고 7L통을 1번 비웠으므로 수식으로 나타내면 3×4-7×1=12-7=5로 5L가 정확히 나온다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 문제 2도 5갤런들이 통을 2번 채우고 3갤런 통은 2번 비웠으므로 5×2-3×2=4임이 나온다.

한편, 3×3-5×1=4로도 4를 만들 수 있는데, 이는 3갤런들이 통을 3번 채우고 5갤런 통에 붓다가 5갤런 통이 차면 비우는 과정을 반복하면 똑같이 4갤런 물을 만들 수 있음을 보인다. 따라서 작은 통에 물을 채워 큰 통을 붓는 것을 반복하면서 원하는 물의 양을 만들 수 있음과 동시에 반대로 큰 통에 채워서 작은 통으로 붓는 것을 반복해도 똑같은 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다. 즉, 사실상 노가다 하다보면 아예 불가능한 경우가 아닌 이상 언젠간 풀린다는 소리.

그래서 어떤 경우는 최소 횟수로 물을 옮기거나 사용할 물의 양을 정하는 제약조건을 부여하기도 한다.

5. 미디어 믹스

• 이 문제도 게임으로 많이 나온다. 미니게임으로 적당히 넣어두기 좋은 소재.
• 만화 트라우마에서도 잠깐 등장하며, 여기서는 범인이 3L(원본에선 3갤런)짜리 비커에 사은품으로 1L짜리 비커를 달아주는 마트에서 사오는 바람에 허무하게 클리어했다.
• 태합입지전 5에는 의술 미니게임으로 비슷한 게 등장한다. 이쪽은 3종류의 국자를 이용해서 정확히 약을 배합하는 문제.[2]
• 이 문제에서 착안한 모래시계 문제도 있다.
• 영화 다이하드 3에서도 등장한다.

6. 참고 자료

• 박경미 저. <박경미의 수학콘서트>. 동아시아. 2006년. 53~59p

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