아들 딸 문제
1. 자식이 두 명이다. 적어도 딸이 하나 있다. 둘 다 딸일 확률은?
2. 자식이 두 명이다. 첫째가 딸이다. 둘째가 딸일 확률은?
1. 자식이 두 명이다. 적어도 딸이 하나 있다. 둘 다 딸일 확률은?
2. 자식이 두 명이다. 첫째가 딸이다. 둘째가 딸일 확률은?
1. 개요
비슷해 보이는 두 가지의 문제의 확률이 다른 문제이다.
2. 정답
자식이 아들이거나 딸일 확률은 각각 1/2이다라는 것을 전제로 한다. 이때, 부모의 선택권은2.1. 적어도 딸이 하나 있을 때
자식이 두 명이다. 적어도 딸이 하나 있다. 둘 다 딸일 확률은?
- 자식이 두 명이다. 적어도 딸이 하나 있다.
이 경우 적어도 딸이 하나 있다는 정보가 어떤 식으로 습득되었느냐에 따라 조건이 달라진다. - ⓐ 부모에게 "최소한 한 명은 딸입니까?"라고 질문하여 "예"라고 답을 들은 상황
가능한 경우의 수인 (아들, 아들), (아들, 딸), (딸, 아들), (딸, 딸) 4가지 경우 중 (아들, 아들)이 제외되어 3가지 경우만 남게 된다. - ⓑ 1명의 자식을 목격했는데 그 아이가 딸인 상황
가능한 경우의 수는 (아들, 딸) 중 둘째를 목격한 상황, (딸, 아들) 중 첫째를 목격한 상황, (딸, 딸) 중 첫째를 목격한 상황, 둘째를 목격한 상황으로 4가지이다. - 다른 하나가 딸일 확률은?
→ ⓐ는 앞서 3가지 경우의 수 중 (딸, 딸) 한 가지만이 문제의 조건을 성립한다. 따라서 문제의 답은 1/3이다.
→ ⓑ는 4가지 경우의 수 중 두 가지가 조건을 성립한다. 따라서 문제의 답은 1/2이다.
이러한 문제가 발생하는 것은 한 명은 딸이라는 말이 함의할 수 있는 수학적 가정이 여러 가지일 수 있다는 데서 발생하는 것으로, ⓐ는 "두 아이가 있고, 딸이 최소한 한 명 있는 가족"을 분모로 하고, ⓑ는 "두 아이가 있고, 무작위로 한 명의 아이를 확인했더니 딸인 가족"을 분모로 하며, 이 두 경우는 같지 않다.
ⓑ의 경우 다음 문단의 경우과 사실상 동일하게 된다. 딸이 첫째인지 둘째인지 아는 행위 자체가 경우의 수 하나를 없애주는데, 아이를 '첫째'와 '둘째'로 구분하는 대신 '내가 본 아이'와 '내가 보지 않은 아이'로 구분한다고 해도 마찬가지이기 때문이다.
조금 더 직관적으로 파악하려면 동전 문제라고 생각해보자. 동전 두 개를 던져서 앞면 갯수를 맞추는 도박을 한다고 했을 때, 딜러가 '앞면이 최소한 한 개는 있다'고 정보를 준 상황과, 우연히 동전 하나가 앞면이 나온 것을 훔쳐본 경우 둘 중에 어느 경우 앞면 2개에 걸고 싶어질지 생각해보면 이해가 쉽다. 자세한 사항은 하단 영문 위키 링크를 참고.
ⓑ의 경우 다음 문단의 경우과 사실상 동일하게 된다. 딸이 첫째인지 둘째인지 아는 행위 자체가 경우의 수 하나를 없애주는데, 아이를 '첫째'와 '둘째'로 구분하는 대신 '내가 본 아이'와 '내가 보지 않은 아이'로 구분한다고 해도 마찬가지이기 때문이다.
조금 더 직관적으로 파악하려면 동전 문제라고 생각해보자. 동전 두 개를 던져서 앞면 갯수를 맞추는 도박을 한다고 했을 때, 딜러가 '앞면이 최소한 한 개는 있다'고 정보를 준 상황과, 우연히 동전 하나가 앞면이 나온 것을 훔쳐본 경우 둘 중에 어느 경우 앞면 2개에 걸고 싶어질지 생각해보면 이해가 쉽다. 자세한 사항은 하단 영문 위키 링크를 참고.
2.2. 첫째가 딸일 때
자식이 두 명이다. 첫째가 딸이다. 나머지가 딸일 확률은?
- 자식이 두 명이다. 첫째가 딸이다.
→ 첫째가 딸이라는 정보로 인해 한 아이(첫째, 둘째 아이를 각각 A, B라고 할 때, A)는 딸로 고정이 된다. 따라서 가능한 경우의 수는 (딸, 아들), (딸, 딸)이다. B의 아들 혹은 딸 여부는 A가 딸인 것과는 무관한 사건이 된다. - 둘째조금 더 직관적으로 파악하려면, 동전 앞뒷면 맞추기 도박 문제라고 생각해보자. 동전 두개를 던져서 앞면 갯수를 맞추는 도박을 한다고 했을 때, 딜러가 "앞면이 최소한 한개는 있다" 라고 정보를 준 상황과 우연히 동전 하나가 앞면이 나온 것을 훔쳐본 경우 둘 중에 어느 경우 앞면 2개에 걸어보고 싶은지 생각해보면 이해가 쉽다. 자세한 사항은 하단 영문 위키 링크를 참고.
2. 자식이 두 명이다. 첫째가 딸이다. 나머지가 딸일 확률은? - 자식이 두 명이다. 첫째가 딸이다.
- 둘째가 딸일 확률은?
→ 첫째가 딸이라는 정보로 인해 한 아이(첫째, 둘째 아이를 각각 A, B라고 할 때, A)는 딸로 고정이 된다. 따라서 가능한 경우의 수는 (딸, 아들), (딸, 딸)이다. B의 아들 혹은 딸 여부는 A가 딸인 것과는 무관한 사건이 된다.
→ 두 가지 경우의 수 중 (딸, 딸) 만이 조건을 만족하므로 문제의 답은 1/2이다.
3. 기타
2016년 공직적격성평가 언어논리영역 4책형 기준 39, 40번으로 출제되었다.4. 관련 문서
5. 외부 링크
https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradoxhttps://youtu.be/lT-oftk0CPw