1. 개요
스킴으로 표현되는 여러 가지 사상들을 정리한 문서이다.2. 평탄 사상 (flat morphism)
[math(R)]이 아무 단위 가환환이라고 하고 [math(R)] 위의 모듈 [math(M)]을 생각하자. 그렇다면 [math(M)]이 평탄 [math(R)]-가군(module)이란 것은 아래와 같은 모든 완전열(exact sequence)에 대해서[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to N'\to N\to N''\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to I\to R\to R/I\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} I\otimes_R M\to M \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} F^{\vee}\otimes_{R}M\to I\otimes_{R}M\to (F')^{\vee}\otimes_R M \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} (F'')^{\vee}\otimes_R M\to F^{\vee}\otimes_R M\to (F')^{\vee}\otimes_R M \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm Hom}_R(F'',M)\to {\rm Hom}_R(F,M)\to {\rm Hom}_R(F',M) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm Hom}_R(F'',M)\to {\rm Hom}_R(F,M)\to {\rm Hom}_R(F',M) \end{aligned})] |
이제 [math(M)]이 아무 평탄 가군일때 유한하게 생성되는 자유 가군 [math(F)]와 [math(\phi:F\to M)]라는 사상 두 쌍을 [math((F,\phi))]라고 쓰기로 하고, 이것으로 집합 [math(I)]을 만들자. 그렇다면 [math(M)]은 당연히 [math(I)]에 대한 공극한이다. 그리고 이는 [math(M)]이 평탄이면 위에서 만든 정리는 [math(I)]이 직접 집합임을 증명해준다.
이것은 다음을 뜻한다. [math(M)]이 자유 가군의 걸러진 공극한(filtered colimit of free modules)이라는 것과 동치며, 이 동치라는 정리를 라자르 정리(Lazard theorem)이라고 부른다.[1]
[math(R)]의 모든 유한하게 생성된 이데알 [math(I)]에 대해서 [math(I\otimes_{R}M\to M)]이 전사이면 [math(M)]는 평탄이라는 것을 알 수 있다. 이는 완전열 가운데에 있는 [math(N)]의 계수가 1일 땐 모두 증명되고, 계수를 올려보면 계수 n짜리는 계수 [math(n-1)]짜리와 계수 1짜리로 쪼갠다. 그러면 자유 가군에서 유한 가군으로 가는 사상의 핵을 생각하면 계수 n짜리의 핵을 계수 [math(n-1)]짜리 핵으로 나누면 이데알이 나오므로 증명된다. 유한 가군이란 조건을 빼려면 그냥 모든 가군은 유한 가군의 직접적 극한이고 텐서곱은 직접적 극한과 교환관계이므로 증명이 끝난다.
[math(M)]이 [math(R)]위의 충실 평탄 가군(faithfully flat module)이란 것은
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to N'\to N\to N''\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0 \end{aligned})] |
이제 가군에서 대수로 옮겨보자. [math(A\to B)]이 평탄 사상이란 것은 [math(B)]가 평탄 [math(A)]-가군이 될 때를 말한다. 그리고 충실 평탄 사상도 똑같이 정의한다. 그러면 [math(A\to B)]가 충실 평탄이란 것은 평탄이고 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 전사라는 것과 동치다.[2]
이제 스킴 [math(X,Y)]와 사상 [math(f:X\to Y)]에 대해서 이것이 평탄 사상이란 것을 모든 [math(x\in X)]에 대해서 [math({\cal O}_{Y,f(x)}\to {\cal O}_{X,x})]가 평탄인 것이다. 그리고 이것이 충실 평탄이란 것은 전사이고 평탄이라는 것이다. 그리고 [math(\{U_i\to X\})]가 fpqc 덮개란 것은 [math(\bigsqcup_i U_i\to X)]가 충실 평탄이고 준-컴팩트란 것이다.
그렇다면 [math(\{{\rm Spec}\,B_i\to {\rm Spec}\,A\})]가 fpqc 덮개란 것을 이것으로 만들어지는 [math(A\to \bigoplus_i B_i)]가 충실 평탄 사상일때를 말한다고 하자. 그러면 [math({\rm Spec}\,A)]-스킴들을 모은 범주 [math({\rm Sch}_A)]에 fpqc 위상을 줄 텐데, 간단히 덮개를 fpqc 덮개으로 설정한 위상이라고 하자. 그렇다면 fpqc 위상을 준 [math({\rm Spec}\,A)] 위의 준연접층란 것을 생각해볼 텐데, 이것은 직관적으로 평탄 사상 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]마다 [math(B)]-모듈 [math(M_B)]을 준 거라고 생각할 수 있고, 준연접이란 조건은 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 적당히 국소적이고 [math(B\to C)]란 사상이 있을 때 [math(M_C=M_B\otimes_B C)]라는 조건을 더 붙혀준다.
그러면 이런 걸로 충분할까? 우리가 층의 정의를 생각할 때, 두 번째 조건에서 교집합을 생각한다. 그리고 그 교집합은 "자기 자신"하고 하면 그냥 위상공간일 땐 문제 없겠지만 fpqc 위상에선 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]의 교집합은 [math({\rm Spec}\,B\otimes_A B\to {\rm Spec}\,A)]가 되고, 따라서 그 위에 있는 가군은 [math(M)]이라고 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} M_{B\otimes_A B}=M_B\otimes_B (B\otimes_A B)=M_B\otimes_A B \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} M_{i_1}=M_B\otimes_A B,M_{i_2}=B\otimes_A M_B \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \phi_{1,2}:M_{i_1}\otimes_A B\to M_{i_2}\otimes_A B,\phi_{2,3},\phi_{1,3} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \phi_{1,3}=\phi_{2,3}\circ \phi_{1,2} \end{aligned})] |
이렇게, 우리는 이를 일반화해서 다음을 정의하자.
[math(X)]가 스킴이고 [math(\{U_i\to X\})]가 fpqc 덮개라고 하자. 그러면 [math(X)]의 fpqc 내림 데이터(descent datum)라는 것은 각 [math(U_i)] 위의 자리스키 준연접층 [math({\cal F}_i)]와 [math(i,j,k)]에 대해서 [math(\phi_{i,j}:{\cal F}_i\to {\cal F}_j)]가 있어서 공순환 조건 [math(\phi_{i,k}=\phi_{j,k}\circ \phi_{i,j})]를 만족하는 다음과 같은 모임 [math(({\cal F}_i,\phi_{i,j}))]를 뜻한다.
이제 우리는 충실 평탄 내림이란 걸 생각해보자. [math(A\to B)]가 충실 평탄 사상이고 [math(M)]이 [math(A)]-가군일때 다음과 같은 완전열
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to M\to M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm d}:m\otimes b\mapsto m\otimes b\otimes 1-m\otimes 1\otimes b \end{aligned})] |
이제 단면을 만든다. [math(A\to B)] 양 옆에 [math(B)]를 텐서화해서 [math(B\to B\otimes_A B)]로 만들면 이건 [math(B\otimes_A B\to B)]란 단면이 있으며 이를 구체적으로 써보면 [math(b\otimes b'\mapsto bb')]가 된다. 그리고 충실 평탄이란 성질에 따라서 증명이 끝난다.
이제 다음 일대일 대응을 만들어보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \{\text{fpqc descent datums of }X\}\leftrightarrow \{\text{quasi-coherent sheaves of }X\} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \phi_{1,2}:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \phi:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} M=\{m\in M_B|\phi(m\otimes 1)=1\otimes m\} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} &M_B\otimes_A B\to (M_B\otimes_A B)\otimes_A B \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow \qquad \qquad \quad \,\, \qquad \downarrow \\ & B\otimes_A M_B\to B\otimes_A (M_B\otimes_A B) \end{aligned})] |
이제 평탄 사상의 성질을 차근차근 보도록 하자. [math(f:X\to Y)]가 평탄이라면 그 올의 차원을 구해볼 텐데, [math(x\in X)]일 때
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to {\cal O}_{Y,f(x)}\to {\cal O}_{Y,f(x)}/\mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}{\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}\otimes_{{\cal O}_{Y,f(x)}}{\cal O}_{Y,f(x)}/\mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dim_x X=\dim_y Y+\dim_x Y_y \end{aligned})] |
[math(X,Y)]가 준-컴팩트에 준-분리돼있고, [math(f:X\to Y)]가 평탄이고 유한 표현 사상이면 열려있다. 이는 먼저 [math(X,Y)]가 연결돼있다고 가정하고, 위에서 증명한 셰발리의 정리로 [math(f(X))]는 [math(Y)]에서 구성 가능하고, 이제 이게 일반화하에 닫혀있음을, 그러니까 [math(x\in f(X))]고 [math(x\in \bar{\{y\}})]일 때 [math(y\in f(X))]임을 보이면 [math(f(X)=U\cap Z)]로 열린 집합 [math(U)], 닫힌 집합 [math(Z)]로 나타냈을 때 [math(Z)]가 전체 집합이 아닌 이상 이걸 절대로 만족하지 않으니 [math(f(X))]는 열려있고 이걸 증명하면 된다.
이제 [math(x\in X)]일 때 [math({\rm Spec}\,{\cal O}_{X,x}\to{\rm Spec}\,{\cal O}_{Y,f(x)})]가 전사임을 증명하면 [math(f(x)\subseteq \bar{\{y\}})]일 때 [math(y)]와 그 역상을 생각하면 [math(y\in f(X))]가 되고 일반화하에 닫혀있음이 증명된다. 그리고 이 사상은 평탄임을 염두에 두자.
전사임은 국소환에서 먼저 뇌터 규격화 정리를 쓰면 [math({\cal O}_{X,x})]가 유한 [math({\cal O}_{Y,f(x)})]-모듈이라고 가정할 수 있고, 밑에서 증명할 거지만 유한 사상은 언제나 적절하므로 닫힌 지점은 다른 닫힌 지점으로 옮겨야 하고, 극소 소수도 다른 극소 소수로 옮겨야 하고, 이 둘이 아닌 [math({\cal O}_{Y,f(x)})]의 소 이데알 [math(\mathfrak{p})]를 생각하면 이것이 역상이 없다면 [math(\mathfrak{p}{\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=({\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}})]가 되고, 따라서 나카야마 보조정리로 [math(({\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=0)]이 되는데, 이제 [math({\cal O}_{X,x})]의 평탄함으로 위에서 차원 잰 것과 비슷하게 해주면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}{\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \mathfrak{p}\to ({\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=0\to {\cal O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}\to 0 \end{aligned})] |
이를 통해서 한 가지 알 수 있는 사실이 또 있는데, 저 모순을 만드는 과정에서 나카야마 보조정리를 다시 한 번 쓰면 국소환 위에서의 유한 모듈이 평탄이면 충실 평탄이거나 아예 0이어야 한다는 사실을 알 수 있다.
국소적으로 유한한 표현이 열린것이란 것은 증명과정에서도 알 수 있듯이 아주 대충 올의 차원이 같아야 하는데 갑자기 닫힌무언가가 갑자기 나올 수 없다를 뜻한다.
일반화하의 닫힘이라는 것을 보면, 부분스킴에서 열림이나 닫힘이라는 조건들은 일반화하의 닫힘, 특수화가 결정한다. 이 조건들은 사실 [math(X)]의 위상에 의존하지 않는다.
정확히 말하면, [math(X)]의 w-국소 덮개에 의존한다. 그러니까 좀 더 자세히 말하면 [math(X_w)]란 스킴하고 [math(f:X_w\to X)]라는 충실 평탄 사상이 있어서 다음을 만족한다.
- [math(X_w)]는 전체적으로 연결돼있지 않다. 그리고 [math(X_w)]의 닫힌 지점들을 모은 것은
- [math(X_w)]의 연결된 요소(component)들의 집합에 몫 위상을 준 것은 [math(X)]에 구성 가능한 위상을 준 것과 위상동형(homeomorphic)하다.
- [math(X_w)]의 연결된 요소를 하나 [math(U_w)]라고 하면 여기엔 유일한 닫힌 지점 [math(x\in U_w)]가 있고 [math(U_w={\rm Spec}\,{\cal O}_{X,f(x)})]가 된다.
그렇다면 이런 [math(X_w)]는 반드시 유일하게 존재하게 된다. 이것은 다음과 같이 구성하게 된다. 먼저 아핀 스킴부터 시작해서 [math(I\subseteq A)]가 이데알이라고 하자. 그러면 [math(A^{\sim}_{I})]을 [math(A/I)]에서 불변인 [math(A)]의 모든 원소로 [math(A)]를 국소화한 것으로 생각하자. 그러면
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm Spec}\,A^{\sim}_{I}\to {\rm Spec}\,A \end{aligned})] |
자, [math(f\in A)]를 생각해보자. 이것은 [math({\rm Spec}\,A)] 안에서 열린 부분스킴을 만들기도 하고, 닫힌 부분스킴을 만들기도 하다. 그리고 이것은 간단히 생각해서
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm Spec}\,A={\rm Spec}\,A_f\sqcup {\rm Spec}A/(f)=D(f)\sqcup V(f) \end{aligned})] |
이제 좀 더 잘게 나눠서 [math(E\subseteq A)]를 그냥 유한 부분 집합이라고 하고 [math(E=E'\sqcup E')]라고 할 때
[math(\displaystyle \begin{aligned} V(E',E)=D\left(\prod_{f\in E'}f\right)\sqcup \bigcap_{f\in E}V(f), A_{E',E}=\left(A/(E)\right)_{\prod_{f\in E'}f} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm Spec}\,A=\bigsqcup_{E=E'\sqcup E}V(E',E) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} X_{E}=\bigsqcup_{E=E'\sqcup E}{\rm Spec}\,A_{E',E} \end{aligned})] |
이제 다음을 정의하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} X_w=\lim_{E} X_{E} \end{aligned})] |
[math(X_w)]는 아주 직관적으로 [math(X)]의 자리스키 전체 덮개이라고 생각할 수 있다. 충실 평탄이고 덤으로 국소적으로 닫힌 부분 스킴이라면 갖고 있던 국소환이 같단 성질을 그대로 보존하기 때문이다.
3. 유한 사상 (finite morphism)
위에서 정의했듯이 [math(f:X\to S)]가 유한인 것은 모든 아핀 열린 부분스킴 [math(U={\rm Spec}\,A\subseteq S)]에 대해서 [math(f^{-1}(U)={\rm Spec}\,B)]꼴이고 [math(A\to B)]가 유한 가군을 이룰 때를 말한다.위에서 정의했듯이 [math(f:X\to S)]가 유한이란 것은 모든 아핀 열린 부분스킴 [math(U={\rm Spec}\,A\subseteq S)]에 대해서 [math(f^{-1}(U)={\rm Spec}\,B)]꼴이고 [math(A\to B)]가 유한 가군을 이룰 때를 말한다.
유한 사상의 가장 자명한 예로는 닫힌 몰입이 있으며[3] 유한 확장 [math(k'/k)]에 대해서 [math({\rm Spec}\,k'\to {\rm Spec}\,k)] 또한 유한 사상이 된다.
먼저 유한 사상에 대해서 제대로 하기 전에 차원이 0인 스킴의 구조부터 알아보자. [math(X)]가 차원이 0라고 해보자. 먼저 [math(X={\rm Spec}\,A)]일 땐 [math(A)]의 모든 소 이데알은 극대 이데알일 수밖에 없고, 따라서 모든 [math(X)]의 지점들은 닫혀있고 덤으로 두 지점을 [math(\mathfrak{m},\mathfrak{n})]이라고 썼을 때 [math(D(\mathfrak{m}),D(\mathfrak{n}))]는 각각 [math(\mathfrak{n},\mathfrak{m})]를 포함하면서 서로 서로소이므로 [math({\rm Spec}\,A)]는 하우스도르프 공간이 된다. 이제 여기에서 [math(A)]를 뇌터 정리를 만족하는 공간이라고 가정하면 [math({\rm Spec}\,A)]는 유한에 이산 위상을 가지게 되고, 다시 [math(A)]에 뇌터 정리를 만족한다는 공간이란 가정을 빼면 모든 환은 뇌터 환의 직접적 극한으로 표현할 수 있으므로 다음 다섯은 동치가 된다.
- [math(A)]는 크룰 차원이 0 (1)
- [math({\rm Spec}\,A)]는 차원이 0 (2)
- [math({\rm Spec}\,A)]는 하우스도르프 공간 (3)
- [math({\rm Spec}\,A)]는 전체적으로 차단 (4)
- [math({\rm Spec}\,A)]는 사유한(profinite) (5)
- [math({\rm Spec}\,A)]는 유한 이산 위상을 가짐.
- [math(A)]는 아르틴 [math(k)]-대수
- [math({\rm Spec}\,A)]는 유한 집합
- [math({\rm Spec}\,A)]는 이산 위상을 가짐
- [math(A)]는 크룰 차원이 0
- [math(A)]는 유한 [math(k)]-대수
[math(A\to B)]가 유한환 사상이고 단사일 때 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 전사임을 보이자. 이는 어떤 [math(\mathfrak{q}\subseteq B)]가 역상이 없을 때 [math(\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}=B_{\mathfrak{q}})]임을 알 수 있고, 따라서 나카야마 보조정리로 [math(B_{\mathfrak{q}}=0)]가 되므로 모순이다. 따라서 저것은 전사이어야 하고 이것으로 우리는 올라가는 특성(going-up property)이라는 걸 증명할 수 있다. 이는 [math(\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}'\subseteq A)]라는 소 이데알의 나열이 있고 [math(\mathfrak{q})]가 [math(\mathfrak{p})]에 대응되는 [math(B)]의 소 이데알일 때 적당한 [math(B)]의 소 이데알 [math(\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{q}'\subseteq B)]가 있어서 [math(f^{-1}(\mathfrak{q}')=\mathfrak{p})]라는 내용의 성질이다. 이는 간단히 [math(A/\mathfrak{p}\to B/\mathfrak{q})]를 생각한다. [math(Z\subseteq X)]가 닫힌 부분스킴이고 [math(X\to S)]가유한일 때 [math(Z)]는 [math(X)]의 어떤 지점의 폐포로 표현되고, 그 지점을 [math(x\in X)]라고 한다면 올라가는 특성으로 [math(f(Z))]는 [math(f(x))]의 폐포다. 따라서 유한 사상은 닫히게 된다. 그리고 유한 사상은 기본 변환에 대해서 불변이므로 유한 사상은 전체적으로 닫힌 것이 되며 아핀 사상은 분리된 것이니까 유한 사상은 고유함을 알 수 있다.
훨씬 더 일반적으로, 다음 둘은 동치가 된다.
- [math(f:X\to S)]는 적분 사상. 그러니까 아핀 사상이고 이렇게 해서 만들어지는 환들의 확장이 적분이다.[4]
이것의 증명은 생략하겠다.
이제 [math(X\to S)]가 준-유한이고 이것의 모든 올이 0차원일때를 말한다고 하자. 이는 위에서 한 것으로 올이 0차원이란 것은 모든 올이 유한 집합이란 것과 동치가 된다. 그리고 모든 유한 사상은 준-유한이 됨을 알 수 있다.
우리는 이제 다음을 증명할 것이다.
자리스키 메인 정리 [math(S)]가 준-컴팩트라고 하자. [math(X\to S)]가 준-유한이고 분리 가능이라면 적당한 스킴 [math(X')]가 있어서 [math(X\to S)]는 [math(X\to X')]와 [math(X'\to S)]로 분해되며 [math(X\to X')]는 열린 몰입, [math(X'\to S)]는 유한이 된다.
이는 신기한 정리인데, 유한 사상은 사실 올이 유한하다는 준유한 사상하고 다를 바 없다는 정리이기 때문이다. 반대로 준유한 사상은 열린 부분스킴에서만 적용되는 유한 사상이라고 볼 수 있다. 다음을 증명해보자.
[math(A)]가 완비적 국소 환이고 그 극대 이데알이 [math(\mathfrak{m})]고 [math(M)]이 [math(A)]-모듈이면서 [math(M/\mathfrak{m}M)]은 유한 차원 [math(A/\mathfrak{m}A)]-벡터 공간이고 [math(\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}M=0)]라면 [math(M)]는 유한 [math(A)]-가군이다.
증명은 [math(M/\mathfrak{m}M)]의 차원에 따른 귀납법을 써보자. [math(M/\mathfrak{m}M=0)]이라면
[math(\displaystyle \begin{aligned} M=\mathfrak{m}M=\mathfrak{m}^2M=\cdots=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM=0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} M=\mathfrak{m}M+(e)=\mathfrak{m}(\mathfrak{m}M+(e))+(e)=\mathfrak{m}^2M+(e)=\cdots \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} M=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM+(e)=(e) \end{aligned})] |
이것으로 [math(A)]가 완비 국소 뇌터환일 때 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 준유한이 되는 모든 [math(B)]들을 분류해보자. 먼저 [math(A)]의 극대 이데알로 가는 모든 [math(B)]의 소 이데알들을 모으면 이 소 이데알로 [math(B)]를 국소화한 것은 크룰 교집합 정리와 준유한 사상의 정의, 그리고 위의 정리로 유한 [math(A)]-가군이 된다. 이런 소 이데알들을 [math(\mathfrak{q}_i)]라고 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \bigsqcup_{\mathfrak{q}_i}{\rm Spec}\,{\cal O}_{X,\mathfrak{q}_i}\to {\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A \end{aligned})] |
이제 [math(A)]가 완비 국소 뇌터환이라고 하고 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]가 고유하고 준-유한이라고 하자. 그러면 위의분해로 [math(X=X_0\sqcup X_1)]로 나눌 수 있는데, [math(X_1\to {\rm Spec}\,A)]는 절대로 닫힌 지점으로 가지 않는데 고유하므로 닫혀있고 따라서 [math(X_1)]은 공집합이다. 따라서 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 그냥 유한이 된다.
위에서 고유란 조건을 빼보자. 그러면 그냥 준-유한 사상은 준-아핀이다. 이는 [math(A)]의 차원에 대한 귀납법과 위의 분해를 쓰면 된다. 다음 [math(n)]에 대해서 극대 이데알 바로 아래에 있는 소 이데알에 대한 국소화를 생각하는 것으로[6]
그러면 위의 두 가지를 조합하면 준-아핀이면 준-사영이고 따라서 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 [math({\rm Spec}\,A)]의 어떤 연접층의 사영 스펙트럼을 생각해서 적당한 [math(X')]가 있어서
[math(\displaystyle \begin{aligned} X\to X'\to {\rm Spec}\,A \end{aligned})] |
이제 [math(A)]에 완비란 조건을 빼보자. [math(A)]가 그냥 뇌터 국소환이고 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]가 준-유한이면 [math(A)]의 완비성(completion)을 [math(\hat{A})]라고 할 때 [math(A\to \hat{A})]은 [math(A)] 안에 유일하게 있는 이데알에 대해서 평탄 기준을 생각하면 충실 평탄이다. 이제 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]를 큰 fpqc 장소 안의 사상으로 보고, [math(X\times_{{\rm Spec}\,A}{\rm Spec}\,\hat{A})]와 [math({\rm Spec}\,\hat{A}\to {\rm Spec}\,A)]를 각각 대수들의 층을 생각해서 fpqc 내림 데이터으로 생각한 다음에 충실 평탄 내림을 쓴다. 그러면 열린 몰입이랑 유한이란 성질은 충실 평탄으로 잘 옮겨가고, 자리스키 주요 정리를 국소 뇌터환에 대해서 증명할 수 있다.
이제 유한성과 열린 몰입이란 성질은 국소적인 특성이니까 [math(A)]에 국소란 성질을 뺄 수 있다. [math(\mathfrak{p})]가 [math(A)]의 소 이데알일 때 [math(X\times {\rm Spec}\,A_{\mathfrak{p}}\to {\rm Spec}\,A_{\mathfrak{p}})]에 대해선 이미 증명했고 저것이 역극한임을 생각하면 적당한 [math(\mathfrak{p})]의 근방에서 증명할 수 있기 때문이다. 덤으로 뇌터 정리를 만족해야 한다는 조건도 뺄수 있는데, 준-유한의 정의에 유한 표현이 있기 때문이다. 그리고 마지막으로 [math({\rm Spec}\,A)]을 일반적인 스킴 [math(S)]로 바꿀 수 있고 증명이 끝난다.
4. 부드러운 사상과 에탈 사상 (smooth morphism and étale morphism)
4.1. 캘러 미분과 공접 사슬 (Kähler differential and cotangent complex)
먼저 본격적으로 무언가를 하기 전에, 캘러 미분을 소개하자.[math(A\to B)]가 환의 사상일 때 [math(\Omega^1_{B/A})]란 걸 정의할텐데, 이것은 간단하게 대충 다변수 미적분학을 할 때 보이는 1형식들을 모아놓은 가군이다. 그러니까
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Omega^1_{B/A}=\left\{\sum a_i{\rm d}b_i|a_i\in A,b_i\in B\right\} \end{aligned})] |
- [math({\rm d}a=0)] for all [math(a\in A)]
- [math({\rm d}(bb')=b'{\rm d}b+b{\rm d}b')] (라이프니츠 미분 규칙)
좀 더 형식적인 정의를 써보면 이렇게 된다. [math(B\otimes_A B\to B)]를 생각하는데, 이것은 [math(b\otimes b\mapsto bb')]로 정의된다. 그러면 이것은 환 사상이고 이것의 핵을 [math(I)]라고 한다면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Omega^1_{B/A}=I/I^2 \end{aligned})] |
예를 들기 위해서 몇몇 경우에서 이것을 계산해보자. [math(B=A[x_1,\cdots,x_n])]라면 [math(\Omega^1_{B/A}=\{\sum^{n}_{i=1} a_i {\rm d}x_i|a_i\in A\})]가 되고, [math(R)]이 특징적인 p에 프로베니우스 공간이 전단사인 환이라면 모든 [math(x\in R)]는 적당한 [math(y\in R)]가 있어서 [math(x=y^p)]가 되므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm d}x={\rm d}y^p=py^{p-1}{\rm d}y=0 \end{aligned})] |
캘러 미분은 아주 대충 말하면 분지점(ramification)을 재는 도구다. [math(A\to B)]가 유한 표현이고 평탄일 때 이런 캘러 미분이 [math(B)] 위에서 자유가 아니라는 것은 [math(A\to B)]의 행동이 정말로 병적임을 의미한다.
캘러 미분을 계산하기 위한 도구는 많이 있다. 예를 들면 [math(A\to B\to C)]란 게 있다면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Omega^1_{B/A}\otimes_B C\to \Omega^1_{C/A}\to \Omega^1_{C/B}\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} I/I^2\to \Omega^1_{B/A}\otimes_B(B/I)\to \Omega^1_{(B/I)/A}\to 0 \end{aligned})] |
이제 [math(A\to B)]가 유한 표현이고 그 캘러 미분이 자유라면 뇌터 규격화로
[math(\displaystyle \begin{aligned} A\to A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_m) \end{aligned})] |
사실 [math(\Omega^1_{B/A})]가 자유가 아니라면 캘러 미분은 별로 쓸모가 없다. 왜냐하면 그 이상의 정보를 알려주지 않기 때문인데, 이를 보완하기 위해서 우리는 cot 복합체라는 걸 정의하는데, 이것은 캘러 미분보다 훨씬 더 범주론의 관점에서 볼 때 다루기 쉽단 장점이 있다.
다음을 정의하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} B_1=B,B_2=A[B_1],B_3=A[B_2],\cdots \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} L_{B/A}=\cdots\to \Omega^1_{B_3/A}\otimes_{B_3}B\to \Omega^1_{B_2/A}\otimes_{B_2}B\to \Omega^1_{B/A}\to 0 \end{aligned})] |
cot 복합체의 정의에서 [math(B_{\bullet})]들은 사실 자유 [math(B)]-대수가 되고 [math(B_{\bullet}\to B)]가 [math(B)]의 분해가 되도록만 정하면 마음대로 정할 수 있다.
cot 복합체의 성질로 [math(A\to B\to C)]란 환 사상이 있을 때 다음 구별되는 삼각형이 존재한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} L_{B/A}\otimes^{\mathbf{L}}_{B}C\to L_{C/A}\to L_{C/B}\to L_{B/A}\otimes^{\mathbf{L}}_{B}C[1] \end{aligned})] |
우리는 작은 [math(i)]에 대해서 [math(H_i(L_{B/A}))]들을 직접 계산해볼 수 있는데, [math(H_0(L_{B/A})=\Omega^1_{B/A})]가 되고, [math(A[B]\to B)]의 핵을 [math(I)]라고 한다면 [math(H_1(L_{B/A})=I/I^2)]가 된다.
[math(A\to B)]가 평탄이고 [math(\Omega^1_{B/A})]이 0이라고 하자. 그러면 [math(A\to B)]에서 [math(B)]를 텐서화하면 [math(\Omega^1_{B\otimes_A B/B}=0)]이 되고, [math(B\to B\otimes_A B\to B)]하고 cot 복합체를 생각하고 호몰로지를 일일이 구해주면 [math(L_{B/B\otimes_A B}=0)]가 된다. 따라서 [math(B\to B\otimes_A B\to B)]에 대해서 cot 복합체를 계산하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} L_{B/A}=L_{B\otimes_A B/B}\otimes^{\mathbf{L}}_{B\otimes_A B} B=0 \end{aligned})] |
이제 뇌터 규격화에서 얻은 [math(A\to A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to B)]와 바로 위에서 얻은 결과를 종합해보면 [math(\Omega^1_{B/A})]가 유한 사영이고 [math(A\to B)]가 평탄이라면 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]라는 사실을 얻을 수 있다.
한 가지 기준을 만들어보자. [math(A\to B)]가 유한 표현이고 flat일 때 [math(B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_m))]이다. 여기에서 [math(p_1,\cdots,p_m\in A[x_1,\cdots,x_n])]이며 [math(m\le n)]다. 그러면
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm d}p_i=\sum^{m}_{i=1} \frac{\partial p_i}{\partial x_i}{\rm d}x_i \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to I/I^2\to \Omega^1_{A[x_1,\cdots,x_n]/A}\otimes_P B\to \Omega_{B/A}\to 9 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{pmatrix} \frac{\partial p_1}{\partial x_1} & \frac{\partial p_1}{\partial x_2} &\cdots & \frac{\partial p_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial p_2}{\partial x_1} & \frac{\partial p_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial p_2}{\partial x_n} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ \frac{\partial p_m}{\partial x_1} & \frac{\partial p_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial p_m}{\partial x_n}\end{pmatrix} \end{aligned})] |
4.2. 형식 사상들 (formal morphisms)
먼저 [math(B)]가 환이라고 하고, [math(I\subseteq B)]가 [math(I^2=0)]를 만족하는 이데알이라고 하자. 이는 직관적으로 [math(B)]란 [math(B/I)]에다가 무한소를 추가한 것이다. 그렇다면 우리는 [math(X\to S)]가 스킴의 사상이라고 하면 다음을 정의하자. 여기에선 지점들의 함자에서 썼던 기호를 쓰자.- [math(f)]가 형식적으로 매끄러움이라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 전사인 것이다.
- [math(f)]가 형식적으로 비분지라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 단사인 것이다.
- [math(f)]가 형식적으로 에탈이라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 전단사인 것이다.
이들은 cot 복합체하고 큰 상관이 있는데, 먼저 환 사상 [math(A\to B)]가 형식적으로 매끄러움인 것은 다항식 환에서 오는 모든 전사 [math(P\to B)]에 대해서 이것의 핵을 [math(J)]라고 하면 [math(P/J^2\to B)]는 단면으로 [math(B\to P/J^2)]를 가진다는 것과 동치임을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 형식적으로 매끄러움이라는 것은 [math(\Omega^1_{P/A}\otimes_P B=\Omega^1_{(P/J^2)/A}\otimes_P B)]의 직접적 계산으로
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to J/J^2\to \Omega^1_{P/A}\otimes_P B\to \Omega^1_{B/A}\to 0 \end{aligned})] |
- [math(A\to B)]가 매끄러운 사상이란 것은 이것이 유한 표현이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 유한 사상 [math(B)]-가군이고 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]일 때를 말한다.
이제 매끄러운 사상에 대해서 설명해보자. 매끄러운 사상 [math(\mathbb{X}\to {\rm Spec}\,\mathbb{Z}_p)]을 생각해볼 텐데, 여기 위의 [math(\mathbb{F}_p)]-point [math(\bar{x}\in X(\mathbb{F}_p))]를 생각하자. 그러면 매끄러운 사상은 형식적으로 매끄러움이므로 이는 적당히 [math( x\in X(\mathbb{Z}_p))]로 lift할 수 있다.[8]
국소환 사이 국소 준동형사상 [math(A\to B)]이 있다고 하고 이것이 매끄러운 사상이라고 하자. 그러면 이것은 평탄인데, [math(A)]가 뇌터환이라고 가정할 수 있고, 그러면 [math(A[x_1,\cdots,x_n]\to B)]를 생각하고 왼쪽 환을 [math(B)]의 극대 이데알로 국소화한 걸 [math(P)]라고 쓰고 이는 [math(A)] 위에서 평탄이고 [math(P\to B)]의 핵을 [math(I)]라고 한다면 형식적으로 매끄러움의 정의로 [math(B\to P/I^i)]를 만들 수 있고 따라서 [math(\hat{P}\to B)]의 단면 [math(B\to \hat{P})]를 만들 수 있다. 따라서 [math(B)]는 [math(\hat{P})]의 직합인자(direct summand)고 [math(\hat{P})]는 [math(A)]에서 평탄이니 [math(B)]도 [math(A)]에서 평탄이다. 그리고 평탄은 국소 특성이니 [math(A,B)]가 국소환이란 가정을 하지 않아도 된다. 따라서 윗 문단에서 cot 복합체를 다룰때 마지막에서 두번째로 설명한 것으로 매끄러운 사상은 평탄이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 유한 사영인 것으로만 설명해도 된다.
국소뇌터환 [math(A)]이 정칙(regular)이라는 것을 이것의 극대 이데알을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하면 [math(A)]의 크룰 차원과 [math(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)]를 [math(A/\mathfrak{m})]-벡터 공간으로 봤을 때의 차원과 같다고 해보자. 정칙이란 개념은 매끄러움이란 개념과 비슷한데, 대신 이것은 유수체에 대한 정보를 구체적으로 정하지 않는다.
[math(A)]가 체 [math(k)] 위에 있고 [math(k\to A)]는 매끄러운 사상이라고 해보자. 그러면 [math((A/\mathfrak{m})/k)]라는 체의 확장이 분리 가능성이 있어야 하고, 그러면 [math(k\to A\to A/\mathfrak{m})]는
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\to \Omega^1_{A/k}\otimes_A (A/\mathfrak{m})\to \Omega^1_{(A/\mathfrak{m})/k}\to 0 \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dim A=\dim_{A/\mathfrak{m}} \Omega^1_{A/k}\otimes_{k}(A/\mathfrak{m})=\dim_{A/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \end{aligned})] |
크룰 차원이 1인 국소 정칙환은 바로 이산 부치환이다. 이는 곡선을 다룰 때 중요한데, 체위의 매끄러운 곡선는 모든 국소환이 일반점만 뺀다면 이런 이산 부치환이기 때문이다. 그리고 이럴 때 매끄러운 곡선의 유리 함수의 각 점에서의 차는 극대 이데알로 만들어진 여과(filtration)에서 어느 부분에 들어가 있냐에 따라서 달라진다.
형식적 비분지에 대해서 알아보자. [math(A\to B)]가 형식적으로 비분지인 사상이라면 [math(I={\rm Ker}(B\otimes_A B\to B))]라고 하고
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sigma_1,\sigma_2:B\to B\otimes_A B/I^2 \end{aligned})] |
- [math(A\to B)]가 유한 표현이고 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]이면 이를 비분지 사상이라고 하자.
두 국소체 사이 국소 준동형 사상 [math(A\to B)]가 비분지라면 두 국소환의 유수체 확장은 유한 분리가능한 확장이 된다. 그리고 [math(\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B)]가 되는데, 아니어서 [math(B/\mathfrak{m}_AB)]가 [math(B/\mathfrak{m}_B)] 위 차원이 [math(n)]인 벡터 공간이라면 나카야마 보조정리로 [math(\Omega^1_{B/A})]은 [math(A)] 위에서 계수가 n-1일 테고 이는 모순이다.
반대로 [math(A\to B)]가 유한 표현이고, 유수체 확장이 유한 분리가능하고 [math(\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B)]라면 같은 나카야마 보조정리로 [math(A\to B)]는 비분지가 된다.
비분지 사상은 이름 그대로 비분지인 것들만 나타낼 수 있는데, 예를 들면 [math(L/K)]가 국소체 사이의 전체적으로 비분지 확장이고 [math(L^{\circ}/K^{\circ})]가 그 정수환 사이의 확장일 때 이것은 절대로 비분지 사상이 될 수 없다. 왜냐하면 극대 이데알을 옮기면 극대 이데알이란 성질이 깨지기 때문이다.
이제 다음을 정의하자.
- [math(A\to B)]가 에탈이라는 것은 평탄하고 비분지인 것이다.
4.3. 유한 에탈 사상 (finite étale morphism)
여기에선 주로 유한 평탄 사상(finite flat morphism)과 유한 에탈 사상(finite étale morphism)을 다룰 것이다.먼저 평탄 사상은 열린 부분스킴을 다른 열린 부분스킴으로 옮긴다. 그리고 유한 사상은 적당하니까 닫힌 부분스킴을 닫힌 부분스킴으로 옮긴다. 따라서 [math(X,S)]가 연결된것이라면 [math(f:X\to S)]란 유한 평탄 사상은 언제나 전사이다.
유한 평탄 사상은 직관적으로 차원은 바꾸지 않고 점만 여러개로 바꾸는 사상이라고 이해할 수 있다. 예를 들어서 [math(X,S)]가 어떤 체 [math(k)] 위에서 모두 차원이 1이고 가역적이고 매끄러움인 곡선이라고 해보자. 그러면 [math(x\in X)]를 하나 잡고 [math(f(x))]를 생각하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} f_x:{\cal O}_{S,f(x)}\to {\cal O}_{X,x} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} f_x(\mathfrak{m}_{S,f(x)}){\cal O}_{X,x}=\mathfrak{m}^{e_x}_{X,x} \end{aligned})] |
[math(X\to S)]가 에탈이면 이것은 준-유한이 된다. 어떤 올의 차원이 1 이상이면 거기에서 켈러 미분이 계수가 1 이상이 되기 때문이다. 따라서 자리스키 주요 정리으로 적당한 스킴 [math(X')]가 있어서 [math(X\to S)]는 열린 몰입 [math(X\to X')]하고 유한 에탈 사상 [math(X'\to S)]으로 분해된다. 따라서 에탈 사상을 다루는 것은 유한 에탈 사상을 다루는 것과 같다.
예제를 몇 개 들어보자. [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]는 스킴들 중에서 가장 간단한 스킴이고, 이것의 유한 에탈 덮개 [math(X\to {\rm Spec}\,\mathbb{Z})]가 있는지 생각해보자. 그러면 일반점을 생각하면 이는 [math(K(X)/\mathbb{Q})]란 유한 확장을 만들며, 이는 비분지 확장을 만들어야 한다. 하지만 이는 민코프스키의 자연수 기하학으로 [math(\mathbb{Q})] 자신이라는 것이 알려져 있으며, 따라서 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]의 유한 에탈 덮개은 자기 자신밖에 없다.
그렇다면 이제 체 [math(k)]에 대해서 [math({\rm Spec}\,k)]의 유한 에탈 덮개를 생각해보자. 어떤 [math(X\to {\rm Spec}\,k)]라는 유한 에탈 사상이 있다면 그 올은 이산 위상을 이뤄야 하고 원소는 유한개니까 유수체의 국소 아르틴 환, [math(k)]인 [math(A_1,\cdots,A_n)]이 있어서
[math(\displaystyle \begin{aligned} X={\rm Spec}\,A_1\sqcup {\rm Spec}\,A_2 \sqcup \cdots \sqcup {\rm Spec}\,A_n \end{aligned})] |
우리는 [math(k)]가 대수적으로 닫힌 체일 때 [math(\mathbb{P}^1_k)]의 유한 에탈 덮개를 생각해보자. 있어서 [math(X\to \mathbb{P}^1_k)]로 쓰인다면 증명하진 않았지만 리만-후르위츠 공식(Riemann-Hurwitz formula)을 쓰면 [math(K(X)/k(t))]의 차를 [math(N)]이라고 하고 [math(g(X))]를 [math(X)]의 genus[9]라고 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 2g(X)-2=N(2g(\mathbb{P}^1_k)-2)+\sum_{x\in X}(e_x-1)=-2N+\sum_{x\in X}(e_x-1) \end{aligned})] |
이제 유한 에탈 덮개가 자기 자신밖에 없는 것들에서 점 유한개를 빼보자. 그러니까 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z}-\{p_1,\cdots,p_n\})]이나 [math(\mathbb{P}^1_k-\{x_1,\cdots,x_n\})]을 생각해보자. 그러면 이것들의 유한 에탈 덮개는 존재할 수 있게 되는데, 첫번째의 경우엔 [math(p_1,\cdots,p_n)] 바깥에서 비분지이고 이 소수들에 대해선 분지여도 되므로 존재하고, 두 번째는 아핀 선에서 생각하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} x^p-x:\mathbb{A}^1_k\to \mathbb{A}^1_k \end{aligned})] |
마지막으로 [math(K)]가 국소 체이고 [math(K^{\circ})]가 그 정수환일 때 [math({\rm Spec}\,K^{\circ})]의 유한 에탈 덮개를 구해보자. 그러면 [math(X\to {\rm Spec}\,K^{\circ})]라는 유한 에탈 덮개이 있을 때 닫힌 지점의 올을 생각하는 것으로 [math(X)]의 위상 구조를 알아챌 수 있으며, 이 구조에 의하면 적당한 이산 부치 환들 [math(R_1,\cdots,R_n)]이 있어서 [math(X={\rm Spec}\,R_1\sqcup \cdots \sqcup {\rm Spec}\,R_n)]이 된다. 그리고 [math(R_i)]들은 모두 [math(K^{\circ})]의 비분지 확장이 되어야 하며, 계산이 끝났다.
4.4. 갈루아 이론 (Galois theory)
이제 우리는 체 위에서만 하던 갈루아 이론을 임의의 스킴으로 확장해보자.위의 예제에서 [math(k)]가 체일 때 [math({\rm Spec}\,k)]의 유한 에탈 덮개는 사실 [math(k)]의 분리 가능한 확장하고 아무 다를 게 없다. 그런 의미에서, 유한 평탄 사상 [math(f:X\to S)]의 차를 [math(K(X)/K(S))]의 차로 정의하고 유한 에탈 사상 [math(f:X\to S)]가 갈루아라는 것을 [math(S)]에선 항등원인 [math(X)]의 자기동형사상의 갯수가 [math(f:X\to S)]의 차가 같을 때로 정의하자. 그리고 그 자기동형군을 [math({\rm Gal}(X/S))]라고 하자.
[math(X\to S)]가 유한 에탈일 때 [math(X'\to X\to S)]라는 합성했을 때 갈루아가 되는 유한 에탈 사상들은 언제나 존재한다. 이는 [math({\cal O}_{S}(U)\to {\cal O}_{X}(f^{-1}(U)))]라는 사상은 적분 확장을 만들고, 이제 이것이 갈루아가 되도록 적분 원소의 공액을 열심히 붙혀주자.
스킴 [math(X)]의 기하적 지점이란 분리적으로 닫힌 체 [math(k')]와 사상 [math({\rm Spec}\,k'\to X)]을 뜻한다. 이는 간단히 [math(X)]의 어떤 지점의 유수체의 분리가능한 닫힌 체를 잡아준 건데, 체하곤 달리 스킴에선 그에 대응되는 분리적으로 닫힌 체라는 개념이 없기 때문이다.[10]
그렇다면 [math(X)]가 연결된 것이라면 [math({\rm Spec}\,k)]의 상의 폐포의 공차원에만 의존하도록 갈루아 군을 정의할 것이다.
이제 [math(x:{\rm Spec}\,k'\to S)]란 기하적 지점을 하나 잡을 때 [math({\rm Spec}\,k'\to X\to S)]를 생각하자. 이는 대충 말하면 [math(X)]를 [math({\rm Spec}\,k')]의 부분체처럼 생각하겠단 것이다. 그렇다면 다음을 정의하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \pi_1(X,x):=\lim_{x\to X\to S} {\rm Gal}(X/S) \end{aligned})] |
먼저 간단한 예로 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]를 보자. 그러면 이것은 유한 에탈 덮개가 자기 자신밖에 없으므로 [math(\pi_1({\rm Spec}\,\mathbb{Z},x)=0)]다.
[math({\rm Spec}\,k)]를 보자. 그러면 이것은 기하적 지점이 자명한 [math(x:{\rm Spec}\,k^{{\rm sep}}\to {\rm Spec}\,k)] 하나밖에 없고, 그 기본군은 다음이 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \pi_1({\rm Spec}\,k,x)={\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \pi_1((\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\})/k,x)=\prod_{p}\mathbb{Z}_p \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0\to \pi_1(X,x)\to \pi_1(X\times_k k^{{\rm sep}},x)\to {\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k)\to 0 \end{aligned})] |
에탈 기본군의 중요한 점은 이것을 계산했을 때 유한 에탈 사상 [math(f:X\to S)]을 알아낸다는 것에 있지 않고 [math(\ell)]-adic lisse sheaf를 알아낸다는 것에 있을 것이다.
먼저 평범한 갈루아 이론을 생각해보자. 갈루아 이론의 기본 정리는 [math({\rm Gal}(k'/k))]의 부분군과 [math(k'/k)] 사이의 체 사이 대응을 만든다. 그리고 여기에서 [math({\rm Gal}(k'/k))]의 부분군을 유한 [math({\rm Gal}(k'/k))]-집합으로 바꾼다면 사이의 체는 다음과 같은 유한 에탈 덮개
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\rm Spec}\,k'\to {\rm Spec}\,A\to {\rm Spec}\,k \end{aligned})] |
이제 에탈 위상이라는 것을 정의하자. 이것은 [math({\rm Sch}_X)]에 주는 위상인데, 열린 덮개를 [math(\{U_i\to U\})], [math(U_i\to U)]는 에탈이고 그 상들의 합집합이 자기 자신인 것으로 정의한다. 이것은 자리스키 위상하곤 다르데 에탈 기본군하고 딱 맞는 개념이다. 그럼 이런 에탈 위상 위의 층을 에탈 층이라고 하자.
준-컴팩트 [math(X)] 위의 에탈 층 [math({\cal F})]가 상수라는 것은 적당한 가환군 [math(A)]가 있어서 모든 에탈 [math(U\to X)]에서 [math({\cal F}(U)=A)]인 것이다. 그리고 [math({\cal F})]가 국소적으로 상수라는 것은 적당한 에탈 열린 덮개 [math(\{U_i\to X\})]가 있어서 [math({\cal F}|_{U_i})]가 모든 [math(i)]에 대해서 상수층인 것이다.
[1] 텐서곱은 걸러진 공극한을 보존한다.[2] 증명은 먼저 [math(A)]가 국소환일 때 국소환에서 f.g.평탄은 자유임을 나카야마 보조정리로 증명하고 직접적 극한을 생각하면 국소환에서 증명은 쉽게 끝나고, 완전열라는 성질은 국소 특성임을 생각한다.[3] 간단히몫은 원소 하나로 생성되니까[4] 그러니까 위에 있는 환의 모든 원소는 아래 있는 환의 원소들을 계수로 갖는 모닉 다항식의 근으로 표현된다.[5] 이런 분류는 일반적으로 완비 국소환이 아니더라도 헨셀 국소환이면 성립한다. 그런데 이렇게 분류하는 건 자리스키 주요 정리를 필요로 한다. (...)[6] 이는 [math({\rm Spec}\,A)]가 아니라 그냥 어떤 스킴을 놓아도 성립한다.[7] #.[8] [math(\mathbb{Z}_p)]는 [math(\mathbb{F}_p)]의 무한소 확장으로 볼 수 있다.[9] [math(\dim_k H^1(X,{\cal O}_X))][10] 정확하게 말한다면, 있긴 있지만 그 모양새가 너무 괴팍해서 영 쓰기 껄끄럽다. 하지만 proétale topology를 할 때는 이 위상으로 만들어지는 토포스를 replete topos로 만들어주기에 꽤나 유용하게 쓰인다.