국제수학올림피아드/1961년

1. 개요2. 문제 목록

2.1. 1번 문제2.2. 2번 문제2.3. 3번 문제2.4. 4번 문제2.5. 5번 문제2.6. 6번 문제

1. 개요

1961년에 열린 제3회 국제수학올림피아드에 수록된 문제들과 그 문제의 풀이를 서술한 문서이다.

2. 문제 목록

2.1. 1번 문제

[math(a)], [math(b)]가 상수인 다음 연립방정식을 풀어라.
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(\begin{cases}x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b^2\\xy=z^2\end{cases})]}}}

그리고 이 연립방정식의 해 [math(x)], [math(y)], [math(z)]가 서로 다른 양수가 되도록 하는 [math(a)], [math(b)]의 조건을 구하여라.

2.2. 2번 문제

[math(a)], [math(b)], [math(c)]는 어떤 삼각형의 세 변의 길이이고 [math(T)]는 그 삼각형의 넓이이다.
[math(a^2+b^2+c^2\geq4\sqrt3T)]임을 증명하여라. 등호는 어떤 경우에 성립하는가?

2.3. 3번 문제

자연수 [math(n)]에 대해, 방정식 [math(\cos ^nx-\sin ^nx=1)]을 풀어라.

2.4. 4번 문제

삼각형 [math(P_1P_2P_3)]과 그 내부의 점 [math(P)]가 있다. 직선 [math(P_1P)], [math(P_2P)], [math(P_3P)]가 각각 대응하는 변과 만나는 점을 [math(Q_1)], [math(Q_2)], [math(Q_3)]이라 하자.
다음의 세 수
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(\dfrac{P_1P}{PQ_1}, \dfrac{P_2P}{PQ_2}, \dfrac{P_3P}{PQ_3})]}}}

중에서 적어도 하나는 [math(\leq 2)]이고 적어도 하나는 [math(\geq 2)] 임을 증명하여라.

2.5. 5번 문제

[math(AC=b)], [math(AB=c)]이고, [math(\angle AMB=\omega)]인 삼각형 [math(ABC)]를 작도하여라. 단, [math(M)]은 변[math(BC)]의 중점이고 [math(\omega < 90\degree)]이다. 이런 삼각형을 만들 수 있을 필요충분조건이 다음 식과 같음을 보여라.
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(b\tan \dfrac{\omega}2 \leq c < b)]}}}

등호는 어떤 경우에 성립하는가?

2.6. 6번 문제

평면 [math(ε)]이 주어져 있고, 한 직선 위에 있지 않은 세 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]가 평면 [math(ε)]에 대해 같은 쪽 영역에 놓여 있다. 이 세 점에 의해 결정되는 평면이 [math(ε)]과 평행하지 않다고 하자. 이제 평면 [math(ε)]에 임의로 세 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]을 잡고, [math(L)], [math(M)], [math(N)]을 각각 선분 [math(AA')], [math(BB')], [math(CC')]의 중점이라고 하자. 이렇게 해서 만들어지는 삼각형 [math(LMN)]의 무게중심을 [math(G)]라 하자([math(LMN)]이 삼각형을 이루지 않는 경우에 대해서는 생각하지 않는다). 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]이 [math(ε)] 위를 독립적으로 움직일 때 생기는 점 [math(G)]의 자취는 무엇인가?