국제수학올림피아드/1960년

1. 개요

2. 문제 목록

2.1. 1번 문제

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우선 [math(\displaystyle N \over 11)]을 [math(10a + b)]로 두자.

첫번째로, [math(a+b \le 9)]일 경우, N 의 각 자릿수는 백의 자리 [math(a)], 십의 자리 [math(a+b)], 일의 자리 [math(b)]이므로, [math({a^2+(a+b)^2+b^2}={10a+b})]이며, 좌변을 정리하면 [math({2a^2+2ab+2b^2}={10a+b})]가 된다.
[math(10a+b)] 가 2로 나뉘어 떨어지므로 [math(b)]는 짝수이다. 그러므로, [math(b = 2b')]라고 두고 위의 등식에 대입 하면 아래와 같은 결과가 나온다.

[math({2a^2+2ab+2b^2}={10a+2b'})]
[math({a^2+2ab'+4b'^2=5a+b'})]
[math({a(a-5)+2ab'+4b'^2=b'})]

[math(b')]는 다시 2로 나뉘므로 [math(b)]는 4의 배수인 0, 4, 8 이 셋중 하나라는 뜻이다. [math(b=0)]일때 [math(a=5)] 이고, [math(b=4)]일때 [math(a)]는 해가 존재하지 않으며, [math(b=8)]일때 또한 [math(a)]의 해는 존재하지 않는다.
고로, [math(a+b \le 9)]일때 [math(\displaystyle {N \over 11}=55)]이며, [math(N=550)]이다.

두번째로, [math(a+b \ge 10)]일 경우, N의 각 자릿수는 백의 자리 [math(a+1)], 십의 자리 [math(a+b-10)], 일의 자리 [math(b)]이므로, [math({(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2}=10a+b)]이다.
[math(10a+b)]가 2로 나뉘어 떨어지지 않으므로 [math(b=2b'+1)]이라고 두고 위의 등식에 대입하면 아래와 같은 결과가 나온다.

[math({(a+1)^2+(a+2b'-9)^2+(2b'+1)^2}=10a+2b'+1)]
[math({a^2+2a+1+a^2+4b'^2+81+4ab'-18a-36b'+4b'^2+4b'+1}=10a+2b'+1)]
[math(2a^2+4ab'+8b'^2-26a-32b'+82=0)]
[math({a^2+2ab'+4b'^2-13a-17b'+41}=0)]
[math({a^2-13a+41}={17b'-2ab'-4b'^2})]

여기서 [math(a^2-13a)]는 항상 짝수이기 때문에 좌우변은 항상 홀수이므로, [math(b')]또한 홀수이다. 이를 만족하는 [math(b)]는 3과 7이며, [math(b=3)]일때 [math(a=4)] or [math(7)]인데, [math(a+b \ge 10)]이므로 [math(a=7)], [math(b=7)]일때 [math(a)]는 해가 존재하지 않는다.
고로, [math(a+b \ge 10)]일때 [math(\displaystyle {N \over 11}=73)]이며, [math(N=803)]이다.

즉, 문제의 조건을 모두 만족하는 N은 550, 803이다.

2.2. 2번 문제

2.3. 3번 문제

2.4. 4번 문제

2.5. 5번 문제

2.6. 6번 문제

2.7. 7번 문제