1. 개요
'공변'은 영어로 covariant로, 라틴어에서 '함께 변화한다'는 의미를 가진 단어에 기반한다. 이러한 맥락에서 공변도함수(공변미분, 기호 [math(\boldsymbol\nabla)] 나블라(Nabla)로 읽음)는 수학적으로는 좌표계가 변하더라도(특히 곡선 좌표계에서) 물리적 법칙이나 방정식의 형태가 바뀌지 않음을 보장하며 따라서 물리적으로 관찰자의 시점(좌표계)이 달라져도 동일한 법칙이 적용된 공변미분계산을 가능하게 해준다.따라서 공변미분(Covariant Derivative)은 좌표계 변화에 따라 변환되는 텐서의 성질을 보여준다.
2. 공변도함수 예시
[math( \nabla_{1} B^{2} = \partial_{1}B^{3} + \Gamma^{2}_{13}B^{3} )]위 예시에서 볼수있듯이 일반 도함수와 공변 도함수의 차이는 일반 도함수의 편미분([math( \partial_{1}B^{3})]) 값이 직교 좌표계에서 사용 가능하다고 가정해볼때 공변 도함수는 크리스토펠 기호([math(\Gamma^{2}_{13} )])를 도입함으로써 곡률 효과를 보정할수있다는 점에서 곡률 공간에서 도함수 계산시 정보 손실을 제거할수있게 된다.
3. 기능
따라서 이러한 공변 도함수는 곡률 공간에서도 벡터와 텐서의 변화율을 올바르게 측정할 수 있게 해줄뿐만아니라 리만 곡률 텐서, 비앙키 항등식, 아인슈타인 방정식 모두 공변 도함수를 사용해 정의함으로써 물리적으로 좌표계 독립적인 물리적 법칙의 적용을 토대로 공변은 곡률 공간에서의 물리적 상호작용을 일관성 있게 설명할수있기 때문에 리만 곡률 텐서가 공변 보존 조건을 만족하게되고 따라서 곡률이 올바르게 기술될수있으며 따라서 아인슈타인 텐서가 에너지-모멘텀 텐서와 비로서 일치할 수 있게 된다.4. 공변보전
따라서 공변 도함수는 곡률 공간에서 벡터나 텐서의 변화율을 계산할 때 시공간의 곡률을 보정하며 따라서 결과적으로 대칭성과 불변성을 유지하도록 설계된다.4.1. 예시
[math(공변미분 = 편미분항 + 크리스토펠 기호 \,보정항1+ 크리스토펠 기호 \,보정항2 )][math( \nabla_{1} M^{23} = \partial_{1}M^{23} + \Gamma^{2}_{14}M^{34} + \Gamma^{3}_{14}M^{24})]
따라서
[math( \nabla_{5} M^{4}_{123} + \nabla_{2} M^{4}_{135} + \nabla_{3} M^{4}_{152} = 0)] 비앙키 항등식을 조사할수있다.
따라서
[math( \nabla^{1} G_{23} = 0)] 아인슈타인 텐서를 조사할수있다.
4.1.1. 첨자 변환 예
첨자 변환(Index Transformation)[math( \nabla_{\nu} g^{r\nu} = \partial_{\nu}g^{r\nu} + \Gamma^{r}_{\nu\lambda}g^{\lambda\nu} + \Gamma^{\nu}_{\nu\lambda}g^{r\lambda})]
[math( \nabla^{\nu} g_{r\nu} = \partial^{\nu}g_{r\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu r}g_{\lambda\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu\nu}g_{r\lambda} )]
5. 공변미분 계산 예
5.1. 에너지-모멘텀 텐서
[math( \nabla^{\nu}g_{r\nu} )] 은 [math( \nabla^{\nu} g_{r\nu} = \partial^{\nu}g_{r\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu r}g_{\lambda\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu\nu}g_{r\lambda} )]이다.[math(\partial^{\nu}g_{r\nu} )]은 편미분항(1),[math(- \Gamma^{\lambda}_{\nu r}g_{\lambda\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu\nu}g_{r\lambda} )]은 (크리스토펠기호)보정항들이다.
[math(- \Gamma^{\lambda}_{\nu r}g_{\lambda\nu} \quad )] -(2)
[math(- \Gamma^{\lambda}_{\nu\nu}g_{r\lambda} \quad )] -(3)
(1)은 [math(g_{r\nu} = g_{00} = e^v )]을 가정하고
[math(\partial^{\nu}g_{r\nu} = \partial^{\nu}g_{00} = \dfrac{d}{dr}(e^v) = \dfrac{d e^v}{dr} = e^v v' \quad)] -(4)
(2)는
[math( \Gamma^{\lambda}_{\nu r} = \dfrac{1}{2}g^{\lambda\sigma}(\partial_{\nu} g_{\sigma r} + \partial_r g_{\nu \sigma} - \partial_{\sigma} g_{\nu r} ) )]
[math( \nu = r, \lambda = r, g_{rr} = e^v )] 다른 [math(g_{\lambda \nu} = 0 )]성분은 계산에서 제외.
따라서
[math( \Gamma^{r}_{rr} = \dfrac{1}{2}g^{rr}\partial_{r} g_{rr} \quad)]
[math( g_{rr} = e^v, g^{rr} = \dfrac{1}{g_{rr}} = e^{-v} )]
따라서
[math( \Gamma^{r}_{rr} = \dfrac{1}{2} e^{-v} \dfrac{\partial e^{v} }{\partial{r}} = \dfrac{1}{2} e^{-v}e^{v} v' = \dfrac{1}{2}v' )]
정리하면
[math( - \Gamma^{\lambda}_{\nu r}g_{\lambda\nu} = - \Gamma^{r}_{rr}g_{rr} = - \dfrac{1}{2}v'e^{v} \quad)] -(5)
(3)은
[math(- \Gamma^{\lambda}_{\nu\nu}g_{r\lambda} )]에서
[math(\Gamma^{\lambda}_{\nu\nu} = \dfrac{1}{2}g^{\lambda\sigma}(\partial_{\nu} g_{\sigma \nu} + \partial_{\nu}g_{\nu \sigma} - \partial_{\sigma} g_{\nu\nu} ) )]이다.
그러나 한편 [math( r \ne \lambda )] 이므로 [math( g_{r\lambda} = 0)]이고
따라서
[math(- \Gamma^{\lambda}_{\nu\nu}g_{r\lambda} =0 \quad)] -(6)
0(zero)이 된다.
이제 (4),(5),(6)를 결합하면
[math( e^v v' -\dfrac{1}{2}e^v v' - 0 = \dfrac{1}{2}e^v v' )]
을 조사할수있다.
5.2. 입력대상
공변미분의 입력대상은 각 텐서 또는 랭크(rank) 별로 가능하다.5.2.1. 스칼라장
스칼라장[math(\phi(x^\mu))][math( \nabla_\mu \phi = \partial_\mu \phi)]
5.2.2. 벡터장
벡터장[math(V^{\nu}(x^\mu))][math( \nabla_\mu V^{\nu} = \partial_\mu V^{\nu} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} V^{\lambda} )]
5.2.3. 텐서
텐서[math(T^{\alpha\beta})][math( \nabla_\mu T^{\alpha\beta} = \partial_\mu T^{\alpha\beta} + \Gamma^{\alpha}_{\mu\lambda}T^{\lambda\beta} + \Gamma^{\beta}_{\mu\lambda}T^{\lambda\alpha} )]