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계차수열

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1. 개요2. 상세3. 성질4. 계차수열로 원래 수열의 합 구하기5. 교육과정

1. 개요

階差數列 / difference sequence(progression)

수열의 인접한 두 항에 대하여, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 계차(階差 / difference)라고 한다. 계차수열은 원래 수열의 계차들을 항으로 하는 수열이다. 따라서 계차수열은 그 자체로는 성립하지 않고, 별도로 원래 수열의 존재를 전제해야만 성립하는 개념이다.

원래 수열의 계차수열의 계차수열을 원래 수열의 제2계 계차수열이라 하고, 제[math(m)]계 계차수열의 계차수열을 제[math((m+1))]계 계차수열이라 한다. 이런 맥락에서, 원래 수열의 계차수열을 제1계 계차수열이라 할 수 있다.

2. 상세

수열 [math(\{a_n\})]의 일반항 [math(a_n)]에 대해 계차 [math(b_n)]은 다음과 같이 정의되며

[math(
b_n = a_{n+1} -a_n
)]

이때 수열 [math(\{b_n\})]을 [math(\{a_n\})]의 계차수열이라고 한다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\cancel{a_2}-a_1&=b_1\\\cancel{a_3}-\cancel{a_2}&=b_2\\& \;\;\vdots\\\cancel{a_{n-1}}-\cancel{a_{n-2}}&=b_{n-2}\\+\qquad a_n-\cancel{a_{n-1}}&=b_{n-1}\\ \hline a_n-a_1&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\end{aligned})]

[math(a_{n})]에 대하여 정리하면 다음과 같이 [math(n)]은 2 이상이어야 한다.

[math(a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\;(n\geq 2) \, \cdots \, (\ast))]

따라서 계차수열의 일반항을 안다면 원래 수열의 일반항 역시 알 수 있다. 계차수열의 일반항을 모른다면 제2계 계차수열 [math(\{c_n\})]의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다. 이 경우 위와 마찬가지로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}b_k&=\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}c_j+b_1\;(k\geq 2)\end{aligned})]

이것을 식 [math((\ast))]에 대입하면,

[math(\begin{aligned} a_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k+a_1\\&=\sum_{k=1}^{n-1}\Biggl(\sum_{j=1}^{k-1}c_j+b_1\Biggr)\!+a_1\;(k,\,n\geq 2)\end{aligned})]

제3계, 제4계 계차수열에 대해서도 같은 방식을 얼마든지 적용할 수 있다. 따라서 제[math(m)]계 계차수열의 일반항을 알기 어렵다면 제[math((m+1))]계 계차수열의 일반항을 구해 보는 것이 하나의 방법이다.

3. 성질

[math(\begin{aligned}
a_n = c_rn^r +c_{r-1}n^{r-1} +\cdots +c_1n +c_0
\end{aligned} )]}}}||
이면, [math(\{a_n\})]의 계차수열 [math(\{b_n\})]의 일반항은
[math(\begin{aligned}
b_n &= a_{n+1} -a_n \\
&= \{ c_r(n+1)^r +c_{r-1}(n+1)^{r-1} +\cdots +c_1(n+1) +c_0 \} \\
&\quad -( c_rn^r +c_{r-1}n^{r-1} +\cdots +c_1n +c_0 ) \\
&= ( \cancel{c_rn^r} +c_rrn^{r-1} +\cdots ) -( \cancel{c_rn^r} +\cdots )
\end{aligned} )]}}}||
이와 같이 최고차항이 상쇄되므로 [math((r-1))]차 이하의 다항식이 된다(정확하게는 원래 다항식의 차분이 된다). 마찬가지로 계차수열을 구하는 과정을 반복하면 결국에는 일반항이 일차식인 등차수열이 나오며, 그 다음에는 모든 항이 그 등차수열의 공차인, 다시 말해 수열의 일반항이 상수인 수열이 나온다. 한번 항의 값이 일정한 수열이 나왔으므로 이후에는 계속해서 모든 항이 0인 수열만 나온다. 다음 예시를 통해 직관적으로 확인해 보라.
수열 항 일반항 비고
원래 수열 [math(3,\,17,\,55,\,129,\,251,\,433,\,\cdots)] [math(2n^3+1)] 삼차식
계차수열 [math(14,\,38,\,74,\,122,\,182,\,\cdots)] [math(6n^2+6n+2)] 이차식
제2계 계차수열 [math(24,\,36,\,48,\,60,\,\cdots)] [math(12n+12)] 일차식(등차수열)
제3계 계차수열 [math(12,\,12,\,12,\,\cdots)] [math(12)] 상수식(일반항이 공차)
제4계 계차수열 [math(0,\,0,\,\cdots)] [math(0)] 상수식(일반항이 0)
제5계 계차수열 [math(0,\,0,\,\cdots)] [math(0)] 상수식(일반항이 0)
[math(\vdots)] [math(\vdots)] [math(\vdots)] [math(\vdots)]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{1,m} &= a_{m+1} -a_m \\
a_{2,m} &= a_{1,m+1} -a_{1,m} \\
&= (a_{m+2}-a_{m+1}) - (a_{m+1}-a_m) \\
&= a_{m+2} -2a_{m+1} +a_m \\
a_{3,m} &= a_{2,m+1} -a_{2,m}\\
& = (a_{m+3} -2a_{m+2} +a_{m+1}) - (a_{m+2} -2a_{m+1} +a_m) \\
&= a_{m+3} -3a_{m+2} +3a_{m+1} -a_m \\
a_{4,m} &= a_{3,m+1} -a_{3,m} \\
&= (a_{m+4} -3a_{m+3} +3a_{m+2} -a_{m+1}) - (a_{m+3} -3a_{m+2} +3a_{m+1} -a_m) \\
&= a_{m+4} -4a_{m+3} +6a_{m+2} -4a_{m+1} +a_m
\end{aligned} )]}}}||
위와 같이 규칙이 보인다. 이 규칙에 착안해서 [math(\{a_{p,m}\})]을 [math(\{a_m\})]으로만 나타내면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{p,m} = \sum_{i=0}^p (-1)^{p-i} \binom pi a_{m+i}
\end{aligned} )]}}}||
수학적 귀납법을 사용하여 증명하자.
  1. 우선 [math(p=1)]일 때의 증명은 다음과 같다.
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{1,m} &= \sum_{i=0}^1 (-1)^{1-i} \binom1i a_{m+i} = (-1)^1 \binom10 a_m +(-1)^0 \binom11 a_{m+1} \\
&= a_{m+1} -a_m
\end{aligned} )]}}}
따라서 [math(p=1)]일 때 주어진 등식이 성립한다.

i. 이제 자연수 [math(l)]에 대하여 [math(p=l)]일 때 다음 식이 성립한다고 가정하자.
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{l,m} = \sum_{i=0}^l (-1)^{l-i} \binom li a_{m+i}
\end{aligned} )]}}}
그러면 [math(p=l+1)]일 때에 대한 증명은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{l+1,m} &= a_{l,m+1}-a_{l,m} \\
&= \sum_{i=0}^l (-1)^{l-i} \binom li a_{m+1+i} -\sum_{i=0}^l (-1)^{l-i} \binom li a_{m+i} \\
&= \sum_{i=1}^{l+1} (-1)^{l-i+1} \binom l{i-1} a_{m+i} -\sum_{i=0}^l (-1)^{l-i} \binom li a_{m+i}
\end{aligned} )]}}}
여기서 [math(i=l+1)]인 경우와 [math(i=0)]인 경우는 분리하고, 나머지 경우들인 [math(\displaystyle\sum_{i=1}^l)]만 묶어보자.
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{l+1,m} &= \sum_{i=1}^{l+1} (-1)^{l-i+1} \binom l{i-1} a_{m+i} -\sum_{i=0}^l (-1)^{l-i} \binom li a_{m+i} \\
&= (-1)^0 \binom ll a_{m+l+1} +\sum_{i=1}^l \biggl[ (-1)^{l-i+1} \binom l{i-1} \!-(-1)^{l-i} \binom li \biggr] a_{m+i} -(-1)^l \binom l0 a_m \\
&= (-1)^0 \binom ll a_{m+l+1} +\sum_{i=1}^l \biggl[ (-1)^{l-i+1} \binom l{i-1} \!+(-1)^{l-i+1} \binom li \biggr] a_{m+i} -(-1)^l \binom l0 a_m \\
&= (-1)^0 \binom ll a_{m+l+1} +\sum_{i=1}^l (-1)^{l-i+1} \biggl[ \binom l{i-1} \!+\!\binom li \biggr] a_{m+i} -(-1)^l \binom l0 a_m
\end{aligned} )]}}}
한편, 조합의 성질에 의해 [math(\dbinom l{i-1} \!+\!\dbinom li \!= \!\dbinom{l+1}i)]이므로
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
a_{l+1,m} &= (-1)^0 \binom ll a_{m+l+1} +\sum_{i=1}^l (-1)^{l-i+1} \biggl[ \binom l{i-1} \!+\!\binom li \biggr] a_{m+i} -(-1)^l \binom l0 a_m \\
&= (-1)^0 \binom ll a_{m+l+1} +\sum_{i=1}^l (-1)^{l-i+1} \binom{l+1}i a_{m+i} -(-1)^l \binom l0 a_m \\
&= (-1)^0 \binom{l+1}{l+1} a_{m+l+1} +\sum_{i=1}^l (-1)^{l+1-i} \binom{l+1}i a_{m+i} +(-1)^{l+1} \binom{l+1}0 a_m \\
&= \sum_{i=0}^{l+1} (-1)^{l+1-i} \binom{l+1}i a_{m+i}
\end{aligned} )]}}}
따라서 [math(p=l+1)]일 때도 주어진 등식이 성립한다.
(i)과 (ii)에 의해서 모든 자연수 [math(p)]에 대해 주어진 등식이 성립한다.
}}}||

4. 계차수열로 원래 수열의 합 구하기

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'''이 문단은'''
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어떤 수열 [math(\{a_n\})]과 그의 계차수열 [math(\{b_n\})]에 대하여, 앞서 밝혔듯이

[math(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\;(n\geq 2))]

이므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{matrix}&a_1&\!\!\!=\!\!\!&a_1\\&a_2&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\\&a_3&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!\\\;&\vdots&&\!\!\vdots&&\vdots&&\vdots\\&a_{n-1}&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&b_{n-2}\\\!\!+&a_n&\!\!\!=\!\!\!&a_1&\!\!+\!\!&\!\!\!\!\!\!\!\!\!b_1\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\!\!+\!\!&\!\!b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&b_{n-2}&\!\!+\!\!&b_{n-1}\\\hline&\displaystyle\sum_{k=1}^na_k&\!\!\!=\!\!\!&na_1&\!\!+\!\!&\!\!(n-1)b_1\!\!&\!\!+\!\!&\!\!(n-2)b_2\!\!&\!\!+\!\!&\cdots&\!\!+\!\!&2b_{n-2}&\!\!+\!\!&b_{n-1}\end{matrix})]
결과를 합의 기호를 이용하여 나타내면 아래와 같다.

[math(\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=na_1+\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k\;(n\geq 2))]


혹은 다음과 같이 해석할 수도 있다.
[math(\begin{matrix}&{\color{dodgerblue}a_1}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&&\!\!\!{\color{red}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\&{\color{dodgerblue}a_2}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&&\!\!\!\!{\color{red}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}\!\!&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\&{\color{dodgerblue}a_3}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&&{\color{red}\cdots}&\!\!{\color{red}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{red}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{red}+}\!\!&\!{\color{red}b_{n-1}}\\\;&{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!\!\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}\vdots}&&\vdots&&\!\!{\color{red}\vdots}&&{\color{red}\vdots}\\&{\color{dodgerblue}a_{n-1}}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&{\color{dodgerblue}\cdots}&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_{n-2}}&&\!{\color{red}b_{n-1}}\\\!\!+\!\!\;&{\color{dodgerblue}a_n}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}a_1}\!\!\!\!&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!{\color{dodgerblue}b_1}\!\!&\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_2}&\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&{\color{dodgerblue}\cdots}&\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!\!\!\!{\color{dodgerblue}b_{n-2}}&\!\!\!{\color{dodgerblue}+}\!\!&\!{\color{dodgerblue}b_{n-1}}\\\hline&{\color{dodgerblue}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}&\!\!\!\!=&\!\!\!\!\!na_n\!\!\!\!&\!\!-\!\!&\!\!\!{\color{red}\{b_1}&\!\!\!\!\!{\color{red}+}&\!\!\!\!{\color{red}2b_2}&\!\!\!\!\!\!{\color{red}+}&{\color{red}\cdots}&{\color{red}+}&\!{\color{red}(n-2)b_{n-2}}&\!{\color{red}+}&\!{\color{red}(n-1)b_{n-1}\}}\end{matrix})]
위 식의 결과를 합의 기호로 나타내면 아래와 같다.

[math({\color{dodgerblue}\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}=na_n-{\color{red}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}kb_k}\;(n\geq 2))]

어떤 방식으로 공식을 유도하든 값은 같다.

[math(\begin{aligned}na_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)b_k&=na_1+n\sum_{k=1}^{n-1}b_k-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\\&=na_1+n(a_n-a_1)-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k \\&=na_n-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\end{aligned})]

5. 교육과정


분류