1. 개요
Gaußsche Zahl / Gauss 整數두 정수 [math(a)], [math(b)] 에 대해서 [math( a + bi)] (단, [math(i \triangleq \sqrt{-1})])로 표현되는 수를 의미한다. '복소정수'라고도 한다.
이름 그대로 카를 프리드리히 가우스가 연구하여 이 이름이 붙었다.
2. 상세
가우스 정수 전체의 집합은 기호로 보통 [math(\mathbb{Z}[i])]로 나타내고 이는 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 [math(1)]을 가지는 가환환을 이룬다. 더 나아가서 [math(N(a+bi)=a²+b²)]로 정의된 함수 [math(N:\mathbb{Z}[i]→\mathbb{Z})]를 유클리드 노름으로 가지는 정역(유클리드 정역, ED)이다. 유클리드 정역이기 때문에 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, PID)이고 따라서 유일 인수분해 정역(UFD)이다.이런 수들 중 절댓값이 [math(1)]인 수([math(\pm 1)], [math(\pm i)])를 통틀어 단원(또는 가역원, unit)이라고 하며 보통 [math(\epsilon )]로 표기한다. 사실 곱셈에 대한 항등원을 가지는 환에서 단원이란 곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소를 말한다. 하지만 가우스 정수 집합에서는 앞서 말한 네 개 말고는 단원이 존재하지 않으므로 절댓값이 [math(1)]인 수로 생각해도 무방. 두 가우스 정수 [math(\alpha )], [math(\beta )]가 어떤 유닛 [math(\epsilon )]에 대해 [math(\alpha =\epsilon \beta )]로 나타낼 수 있는 경우에 [math(\alpha )], [math(\beta )]는 연관되어 있다고 한다. (쉽게 말해 [math(a+bi)], [math(-b+ai)], [math(-a-bi)], [math(b-ai)]는 서로 연관되어 있다) 물론 모든 가우스 정수는 자기 자신과 연관되어 있다.
3. 가우스 소수
정수와 마찬가지로 가우스 정수 범위에서도 소수 등을 정의할 수 있다. 단원을 제외한 두 개 이상의 가우스 정수의 곱으로 나타낼 수 없는 수를 '가우스 소수(Gaussian prime)'이라 부른다. 가우스 소수의 종류로는 [math(1+i)], [math(s\pm ti)][1], [math(4k+3)]꼴 소수([math(p)])가 있으며, 어떤 수가 가우스 소수가 되는 것은 예시로 든 3가지 중 하나와 연관되어 있는 것과 동치이다.다만 정수에서 [math(-2)], [math(-3)]도 [math(\pm 1)]을 제외한 두 개 이상의 정수의 곱으로 나타낼 수 없으므로 소수이지만, 보통 소수라고 하면 양의 소수를 우선적으로 보기 때문에 [math(-2)], [math(-3)]은 소수를 다룰 때 끼워주지 않듯이, 가우스 정수 범위에서도 1사분면에 속한 수[2]들을 주로 사용한다.
모든 가우스 정수는 1사분면에 속한 가우스 소수들로 소인수분해하는 법이 단 한 가지이다. 다시 말해 가우스 정수 [math(\mu)]를 [math(\epsilon \pi \kappa \rho \cdots)]에서 [math(\epsilon)]는 unit, [math(\pi, \kappa, \rho)] 등은 1사분면에 속한 가우스 소수)와 같이 표기 가능한 [math(\pi, \kappa, \rho, \cdots)]의 쌍은 재배열을 한 가지로 취급하면 유일하게 결정된다. 이때 [math(\epsilon)]도 유일하게 됨은 자명하다. 증명은 소인수분해의 유일성과 동일한 방법으로 행해진다.
[math( x^2 - y^2 = \left(x + y\right)\left(x - y\right))] 로 인수 분해되는 것과 마찬가지로. [math( x^2 + y^2 = \left(x + yi\right)\left(x - yi\right))] 로 인수 분해될 수 있다. 예를 들어, 가우스 정수 체계에서는 [math(2 = \left(1+i\right)\left(1-i\right))] 로 소인수분해될 수 있으며, 2 는 가우스 소수가 아니다. 참고로 좀더 정확히는 1사분면에 속한 수로만 표현해야 하기에 [math(2 = -i\cdot\left(1+i\right)^2)] 으로 분해 된다. 보다 일반적으로 정리하면 [math(x^2+y^2=-i(x+yi)(y+xi))]로 소인수분해된다.
가우스 소수의 분포를 복소평면에 나타내면 원점 대칭이 된다. 더 정확히는 정사각형 배치의 격자점이다. i를 곱해주면 90도 회전이 되므로 자명하다고 할 수 있다. 실제로 한 가우스 정수와 연관된 모든 수를 이어보면 원점을 중심으로 하는 정사각형이 그려진다.
4. 관련 문서
[1] 일반 정수에서 [math(4k+1)]꼴 소수 [math(p)]에 대해 [math(p=s^2+t^2)]인 자연수 [math(s)], [math(t)]가(순서를 바꾸는 것만 제외하면) 유일하게 존재한다. 본문의 [math(s)], [math(t)]는 바로 그것. [math(4k+1)]꼴 소수 [math(p)]가 두 제곱수의 합임은 페르마의 두 제곱수 정리 문서를 참조.[2] [math(a+bi)]라고 했을 때, [math(a\ge 0)]이고 [math(b>0)]인 수를 말한다.