1. 개요
헬름홀츠 정리(Helmholtz theorem)는 임의의 삼차원 벡터장을 비회전장과 비발산장의 합으로 나타날 수 있다는 정리로, 벡터 미적분학의 기본 정리라고도 불린다.2. 상세
[math(\mathbb{R}^3)] 위의 벡터장 [math(\mathbf{F})]를 생각하자. 이때, 다음 조건을 만족하는 두 벡터장 [math(\mathbf{F}_\perp)], [math(\mathbf{F}_\parallel)][1]를 [math(\mathbf{F})]의 헬름홀츠 분해라고 한다.[math(\mathbf{F} = \mathbf{F}_\perp + \mathbf{F}_\parallel)]
[math(\nabla \times \mathbf{F}_\perp = 0, \quad \nabla \cdot \mathbf{F}_\parallel = 0)]
[math(\nabla \times \mathbf{F}_\perp = 0, \quad \nabla \cdot \mathbf{F}_\parallel = 0)]
벡터장 [math(\mathbf{F})]의 해석적인 성질이 충분히 좋은 경우, 이러한 분해가 존재한다.
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\mathbf{F}_\perp &= \nabla \times \left[ \nabla \times \frac{1}{4\pi}
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right] \\
\mathbf{F}_\parallel&=-\nabla \left[ \nabla \cdot \frac{1}{4\pi}
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right]\end{aligned})]
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right] \\
\mathbf{F}_\parallel&=-\nabla \left[ \nabla \cdot \frac{1}{4\pi}
\int \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r'})}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r'}\right|} d^3\mathbf{r'} \right]\end{aligned})]
이를 적용하면, 임의의 벡터장을 스칼라 퍼텐셜 [math(\Phi)]와 벡터 퍼텐셜 [math(\mathbf{A})]을 이용해 나타낼 수 있게 된다.
[math(\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A} - \nabla \Phi)]
물리적인 상황에서는 무한히 먼 지점에서 벡터장의 값이 0으로 사라지는 경우를 많이 고려한다.[2] 이러한 경계 조건에서 헬름홀츠 분해는 유일함이 알려져 있다.
[1] 비발산장 [math(\mathbf{F}_\perp)]를 수직 성분 또는 가로(transverse) 성분, 비회전장 [math(\mathbf{F}_\parallel)]를 세로(longitudinal) 성분이라고 한다.[2] 예를 들어, 좁은 영역에 전하 분포가 몰려 있을 시 멀리 떨어진 지점에서는 점전하처럼 보인다. 이 경우 쿨롱 법칙에 의해 전기장은 근사적으로 [math(r^{-2})]에 비례한다.