1. 예제 1: 반사 방지막
| [문제] 그림과 같이 굴절률 [math(n_{1}\,(z<0))], [math(n_{2}\,(z<0<d))], [math(n_{3}\,(z>d))]로 3개의 층으로 구성된 유전체를 고려하자. 그림과 같이 p편광된 빛을 [math(n_{1})] 영역에서 수직으로 입사했을 때, 다음 물음에 답하시오. (a) 반사율과 투과율을 구하시오. (b) 반사율이 최소로 되도록 하는 [math(d)]의 최솟값과 그 때의 반사율을 구하시오. (c) 반사율이 [math(0)]이 되기 위한 [math(n_{1})], [math(n_{2})], [math(n_{3})]의 관계식을 구하시오. (단, 유전체는 선형적이고 등방적인 물질이며, [math(n_{1}<n_{2}<n_{3})]이다.) |
- [풀이 보기]
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(a)
각 영역에서 전기장과 자기장 세기은 아래와 같이 쓸 수 있다. 한 영역에선 [math(+z)]으로 이동하는 파와 경계에서 반사된 파 모두 존재한다는 사실에 주의하라.
유전체 특성 상 [math(\mu_{i} \simeq \mu_{0})]인 점을 썼고, 영역 [math(x>d)]에서 무한한 영역에서 반사되어 오는 파는 물리적인 상황이 아니므로 [math(-z)]로 진행하는 파는 기입하지 않았다. 따라서 우리는 경계 조건영역 전기장 자기장 세기 [math(x<0)] [math( \hat{\mathbf{x}}[E_{1} e^{i (k_{1}z-\omega t)}+E_{1}' e^{-i (k_{1}z+\omega t)}] )] [math( \displaystyle \hat{\mathbf{y}} \frac{n_{1}}{c \mu_{0}}[E_{1} e^{i (k_{1}z-\omega t)}-E_{1}' e^{-i (k_{1}z+\omega t)}] )] [math(0<x<d)] [math( \hat{\mathbf{x}}[E_{2} e^{i (k_{2}z-\omega t)}+E_{2}' e^{-i (k_{2}z+\omega t)}] )] [math( \displaystyle \hat{\mathbf{y}} \frac{n_{2}}{c \mu_{0}}[E_{2} e^{i (k_{2}z-\omega t)}-E_{2}' e^{-i (k_{2}z+\omega t)}] )] [math(x>d)] [math( \hat{\mathbf{x}}E_{3} e^{i (k_{3}z-\omega t)} )] [math( \displaystyle \hat{\mathbf{y}} \frac{n_{3}}{c \mu_{0}}E_{3} e^{i (k_{3}z-\omega t)} )]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}(z=0) \cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{E_{2}}(z=0) \cdot \hat{\mathbf{t}} \\ \mathbf{E_{2}}(z=d) \cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{E_{3}}(z=d) \cdot \hat{\mathbf{t}} \\ \mathbf{H_{1}}(z=0) \cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{H_{2}}(z=0) \cdot \hat{\mathbf{t}} \\ \mathbf{H_{2}}(z=d) \cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{H_{3}}(z=d) \cdot \hat{\mathbf{t}} \end{aligned} )]
를 쓰면, 4개의 방정식
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{1}+E_{1}'&=E_{2}+E_{2}' \\ n_{1}(E_{1}-E_{1}')&=n_{2}(E_{2}-E_{2}') \\ E_{2}e^{ik_{2}d}+E_{2}'e^{-ik_{2}d}&=E_{3}e^{ik_{3}d} \\ n_{2}(E_{2}e^{ik_{2}d}-E_{2}'e^{-ik_{2}d})&=n_{3}E_{3}e^{ik_{3}d} \end{aligned} )]
이 나온다. 따라서 이 방정식을 통해 [math(E_{3}/E_{1})]을 구할 수 있으며, 그 값은,
[math( \displaystyle \frac{E_{3}}{E_{1}}=\frac{1}{2} \left[ \left(1+ \frac{n_{3}}{n_{1}} \right) \cos{(k_{2}d)}-i \left( \frac{n_{2}}{n_{1}}+\frac{n_{3}}{n_{2}} \right) \sin{(k_{2}d)} \right] e^{ik_{3}d} )]
이 된다. 이것으로 투과율은 쉽게 결정되며, 그 값은,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{T}&=\frac{n_{1}}{n_{3}} \left| \frac{E_{1}}{E_{3}} \right|^{2} \\ &=\frac{1}{4} \frac{n_{1}}{n_{3}} \left[ \left(1+ \frac{n_{3}}{n_{1}} \right)^{2} \cos^{2}{(k_{2}d)}+ \left( \frac{n_{2}}{n_{1}}+\frac{n_{3}}{n_{2}} \right)^{2} \sin^{2}{(k_{2}d)} \right] \\ &=\frac{1}{4n_{1}n_{3}} \left[ (n_{1}+n_{3})^{2}+\frac{(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})(n_{3}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{2}^{2}} \sin^{2}{(k_{2}d)} \right] \end{aligned} )]
따라서 반사율은
[math(\displaystyle T+R=1 )]
을 만족해야 하므로
[math( \displaystyle R=1-4n_{1}n_{3} \left[ (n_{1}+n_{3})^{2}+\frac{(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})(n_{3}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{2}^{2}} \sin^{2}{(k_{2}d)} \right]^{-1} )]
(b)
위에서 구해진 [math(R)]의 형태로 미루어 보아 [math(R)]이 최소가 되려면 [math(d)]와 관련된 항 [math(\sin^{2}{(k_{2}d)}=1)]을 만족해야 한다. 따라서
[math(\displaystyle k_{2}d=\frac{2n-1}{2}\pi \quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) )]
[math(d)]가 최소가 되려면 [math(k_{2}d=\pi/2)]이고, 이 결과로 얻을 수 있는 반사율의 최솟값은
[math( \displaystyle \begin{aligned} R&=1-4n_{1}n_{3} \left[ (n_{1}+n_{3})^{2}+\frac{(n_{1}^{2}-n_{2}^{2})(n_{3}^{2}-n_{2}^{2})}{n_{2}^{2}} \right]^{-1} \\ &=\left( \frac{n_{1}n_{3}-n_{2}^{2}}{n_{1}n_{3}+n_{2}^{2}} \right)^{2} \end{aligned} )]
이 된다.
(c)
반사율이 0이 될 조건은 (b)에서 도출된 반사율을 사용하면, 분자가 0이 되어야 함에 따라
[math( \displaystyle n_{2}=\sqrt{n_{1}n_{3}} )]
이 된다.
2. 예제 2: 전반사 후 편광
| [문제] 입사면에 대해 [math(+45^{\circ})]만큼 기울어지게 선형 편광된 전자기파(아래 그림 참고)가 두 매질의 유전체 경계면에 전반사된다. 전반사된 전자기파가 (a) 선형 편광될 조건을 구하시오. (b) p편광, s편광 된 빛이 전반사 후에 갖는 위상을 각각 [math(\varphi_{p})], [math(\varphi_{s})]라 하자. [math(\varphi_{p}-\varphi_{s}=\pi/2)]를 만족시키면, 전반사 후 원 편광이 되는지를 말하시오. |
- [풀이 보기]
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입사한 전자기파의 전기장 진폭을 [math(E_{0})]라 두면, p편광, s편광된 빛의 진폭은 각각 [math(E_{0}/\sqrt{2})]가 된다.[1] 그런데, 우리는 전반사 될 때, 반사 계수
[math( \displaystyle r_{p}=\frac{i \beta n_{1}-n_{2}\cos{\theta_{1} }}{i \beta n_{1}+n_{2}\cos{\theta_{1} }} \qquad \qquad r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-i \beta n_{2}}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+i \beta n_{2}} )]
임을 이미 알고 있다. 또한, 위 값들은 복소수량이므로
[math( \displaystyle r_{p}=\left| r_{p} \right|e^{i (\phi_{p}+\pi)} \qquad \qquad r_{p}=\left| r_{p} \right|e^{i \phi_{s}} )]
으로 쓸 수 있다. 이 때,
[math( \displaystyle \tan{\frac{\phi_{p}}{2}}=-\frac{ n_{1} \beta }{n_{2}\cos{\theta_{1} }} \qquad \qquad \tan{\frac{\phi_{s}}{2}}=-\frac{ n_{2} \beta }{n_{1}\cos{\theta_{1} }} )]
이다. 따라서
[math( \displaystyle \varphi_{p}=\phi_{p}+\pi \qquad \qquad \varphi_{s}=\phi_{s} )]
이 된다.
위 식들에서 [math(\beta)]를 소거하기 위해
[math( \displaystyle \beta^{2}=-\cos^{2}{\theta_{2}} \qquad \qquad \sin{\theta_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}} \sin{\theta_{1}} )]
를 쓰면,
[math( \displaystyle -\beta^{2}+\left( \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin{\theta_{1}} \right)^{2}=1 \, \rightarrow \, \beta=\sqrt{\left( \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin{\theta_{1}} \right)^{2}-1} )]
이므로
[math( \displaystyle \beta=\frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \sin^{2}{\theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } )]
이상에서
[math( \displaystyle \tan{\frac{\phi_{p}}{2}}=-\frac{ \sqrt{ \sin^{2}{\theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{(n_{2}/n_{1})^{2}\cos{\theta_{1} }} \qquad \qquad \tan{\frac{\phi_{s}}{2}}=-\frac{ \sqrt{ \sin^{2}{\theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{\cos{\theta_{1} }} )]
로 구해진다. 비록 구하지는 않겠지만,
[math( \displaystyle \left| r_{p} \right|=\left| r_{s} \right|=1 )]
임을 알 수 있다. 따라서 전반사 후 p편광, s편광된 전자기파의 진폭은
[math( \displaystyle \left| r_{p} \right| \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}=\left| r_{s} \right| \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}=\frac{E_{0}}{\sqrt{2}} )]
으로 모두 같다.
(a)
전반사된 전자기파가 선형 편광되려면, 전반사 후 p편광, s편광된 각 파가 위상이 [math(\varphi_{p}-\varphi_{s}=m \pi)] ([math(m)]은 정수)을 만족하면 된다. 자세한 것은 전자기파 문서를 참조하라. 그런데 이미
[math( \displaystyle \varphi_{p}=\phi_{p}+\pi \qquad \qquad \varphi_{s}=\phi_{s} )]
임을 알고 있고, 두 위상각은 [math(\pi)] 만큼 차이난다는 사실을 알 수 있다. 따라서
[math( \displaystyle \phi_{p}=\phi_{s} )]
를 만족하면 선형 편광이 된다. 따라서 이것이 만족하려면,
[math( \displaystyle \sin{\theta_{1}}=\frac{n_{1}}{n_{2}} \qquad \mathrm{or} \qquad \theta_{1}=\frac{\pi}{2} )]
을 만족해야 한다. 즉, 임계각으로 입사하거나, 평행 입사시켜야 한다.
(b)
원형 편광이 되려면, 전반사 후 p편광, s편광된 전자기파의 진폭은 같아야 하는데, 이것은 이미 위에서 증명했다. 또한, 문제에서 주어진 조건은 수직인 파가 서로 위상차 [math(\pi/2)]를 가지므로 원편광 될 수 있다.[2] 다만, 우리는 추가적으로 두 굴절률에 대한 조건을 구해야 한다. 위상차
[math( \displaystyle \varphi_{p}-\varphi_{s} \equiv \Delta \varphi )]
라 하자. 우리는 원형 편광이 되려면 [math( \displaystyle \Delta \varphi=\pi/2 )]이 돼야 한다는 것을 이미 알고 있다. 이 때,
[math( \displaystyle \Delta \varphi=2 \left[ \tan^{-1} \left( -\frac{ \sqrt{ \sin^{2}{\theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{(n_{2}/n_{1})^{2}\cos{\theta_{1} }} \right)-\tan^{-1} \left( -\frac{ \sqrt{ \sin^{2}{\theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{\cos{\theta_{1} }} \right) \right]+\pi )]
이고, 이것의 극값을 조사해보도록하자. 이것이 극값을 가질 조건은
[math( \displaystyle \frac{\partial (\Delta \varphi)}{\partial k}=0 )]
이다. 이 때,
[math( \displaystyle k \equiv \frac{ \sqrt{ \sin^{2}{\theta_{1}} -(n_{2}/n_{1})^{2} } }{\cos{\theta_{1}} } )]
라 놓으면, 각종 관계에 의해
[math( \displaystyle \Delta \varphi=2 \left[ \tan^{-1} {\left(- k \frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}} \right)}-\tan^{-1}{(-k)} \right]+\pi )]
로 쓸 수 있다. 이 함수가 극값을 가질 때의 위상차를 [math(\Phi)]라 놓으면, 극값을 갖는
[math( \displaystyle k=\frac{n_{2}}{n_{1}} )]
이므로
[math( \displaystyle \frac{\Phi}{2} =\tan^{-1} \left( -\frac{n_{1}}{n_{2}} \right)- \tan^{-1} \left( -\frac{n_{2}}{n_{1}} \right)+\frac{\pi}{2} )]
그런데 우리가 만족시켜야 할 조건은
[math( \displaystyle \Delta \varphi =\frac{\pi}{2} \, \rightarrow \, \tan{\left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right)}=1 )]
이고, 맨 아래의 그래프의 형태를 참조할 때, 극솟값은 [math(\pi/2)]보다 같거나 작아야 한다는 사실을 알 수 있다. 즉,
[math( \displaystyle \Phi \leq \frac{\pi}{2} )]
이 성립해야 가질 수 있는 위상차 중 [math(\pi/2)]를 포함하게 된다. 따라서
[math( \displaystyle \tan{\left( \frac{\Phi}{2} \right)} \leq \tan{\left( \frac{\Delta \varphi}{2} \right)}=1 )]
을 만족해야한다는 사실을 알 수 있다. 이 때,
[math( \displaystyle \tan{\left( \frac{\Phi}{2} \right)}=\frac{2(n_{2}/n_{1})}{1-(n_{2}/n_{1})^2} )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서
[math( \displaystyle \frac{2(n_{2}/n_{1})}{1-(n_{2}/n_{1})^2} \leq 1 )]
의 부등식이 작성되고, 우리는 전반사를 다루고 있기 때문에
[math( \displaystyle 0<\frac{n_{2}}{n_{1}}<1 )]
또한 만족해야 하므로 이 두 부등식을 동시에 만족시켜주는 범위는
[math( \displaystyle 0< \frac{n_{2}}{n_{1}} \leq \sqrt{2}-1 )]
가 된다. 따라서 모든 내용을 정리하면, 문제에서 주어진 조건에서 전반사된 파가 원형 편광 되는 것은 가능하며, 추가 조건
[math( \displaystyle 0< \frac{n_{2}}{n_{1}} \leq \sqrt{2}-1 )]
을 만족할 때만 원형 편광이 일어난다.
아래는 위에서의 [math(\Delta \varphi)], [math(\varphi_{p})], [math(\varphi_{s})]를 [math(\theta_{1})](입사각)의 함수로 그려본 것이다.
3. 예제 3: 도체 박막
| [문제] 그림과 같이 진공과, 도체로 이루어진 세 영역이 있다. 도체 영역의 두께 [math(d=15 \, \mathrm{nm})]이다. p편광된 전자기파를 도체에 수직입사 시킬 때, [math(z=0)] 경계면에서 입사파와 투과파, [math(z=d)] 경계면에서 입사파와 투과파의 전기장의 진폭을 구하시오. 초기 입사시킨 파의 전기장 진폭은 [math(E_{1}=6.00\,\mathrm{V/m})]이고, 입사시킨 파의 진동수는 [math(10^{15}\,\mathrm{Hz})]이고, 도체의 전기 전도도는 [math(38.6 \times 10^6 \,(\Omega \cdot \mathrm{m})^{-1})]이다. (단, 모든 매질의 자기 감수율은 [math(1)]이다.) |
- [풀이 보기]
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도체 영역의 굴절률은 다음과 같이 구할 수 있다.
[math( \displaystyle \tilde{n_{2}} =n_{2}+ik_{2} )]
그런데 전기 전도도 [math(\sigma_{c} \gg 1)]을 만족하므로
[math( \displaystyle n_{2}=k_{2}=\sqrt{\frac{\sigma_{c}}{2 \varepsilon_{0} \omega }}=1.86 )]
으로 쓸 수 있다. 자세한 것은 이곳을 참조하라. 이 때, [math(n_{1}=1)]이므로 투과 계수를 이용하면,
[math(\displaystyle \tilde{t}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+(n_{2}+ik_{2})} )]
그런데 우리는 진폭 만을 고려하므로, 위상과 관련된 것은 우리의 관심사가 아니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{E_{1}}{E_{0}}=\left| \tilde{t} \right| )]
이에 따라
[math(\displaystyle E_{1}=4.19 \, \mathrm{V/m} )]
가 된다. 우리는 전자기파 문서에서 이미 도체 내의 전자기파는 급격이 감쇠된다는 것을 논의했고, 그 감쇠비는 아래와 같음을 논의했다.
[math(\displaystyle \exp{\left(-\frac{z}{\delta} \right) } )]
이 때, [math(\delta)]는 침투 깊이이며, 다음과 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \delta \equiv \frac{c}{\omega k_{2}}= \sqrt{\frac{2 }{\sigma_{c} \mu_{0} \omega}})]
따라서
[math( \displaystyle E_{2}=E_{1}\exp{\left(-\frac{d}{\delta} \right) } )]
이므로 주어진 값을 대입하면,
[math(\displaystyle E_{2}=1.56 \times 10^{-25} \, \mathrm{V/m} )]
이다. 사실 상 0에 가깝게 감쇠되었음을 알 수 있다. 처음에 진공으로 부터 도체로 입사할 때와 비슷한 방법으로
[math(\displaystyle \frac{E_{3}}{E_{2}}=\left| \frac{2(n_{2}+ik_{2})}{n_{1}+(n_{2}+ik_{2})} \right| )]
이므로 주어진 값을 대입하면,
[math(\displaystyle E_{3}=2.03 \times 10^{-25} \, \mathrm{V/m} )]
으로 구할 수 있다. 이 예제는 금속에 전자기파가 투과되었을 때, 급격히 감쇠된다는 것을 보여준다.
[1] p편광은 입사면에 대해 평행하게, s편광은 입사면에 수직하게 전기장이 진동하는 것을 상기하라.[2] 이것에 대한 자세한 설명은 전자기파 문서의 편광 관련된 부분의 설명을 참조하라.