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| 1984년 나고야대학 본고사 전기 문과 2번 |
한국어 번역
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| 이곳에서 [math(a)]의 값을 [math(0.06\sim1)] 사이에서 조절해 가며 그래프의 개형을 파악할 수 있다. |
위 그래프는 [math(x=0)]에 대하여 좌우 대칭이므로, [math(x>0)]인 영역에서 두 그래프가 접하면 [math(x<0)]인 영역에서도 동시에 접하게 된다. 따라서 [math(x>0)]일 때를 기준으로 하여 그래프가 접할 조건을 조사하자. [math(x>0)]일 때는 [math(y=1-|x|=1-x)]이다. 이 일차식의 그래프와 포물선이 접한다는 것은 대수적으로는 이차방정식
[math((1-x)-(b-ax^2)=ax^2-x+(1-b)=0)]
이 중근을 갖는다는 의미이므로, 이 방정식의 판별식은 [math(0)]이다. 곧, [math(1-4a(1-b)=0)]이 성립한다. 이것이 두 그래프가 접할 조건이다.
이제 이와 같이 두 그래프가 접할 때 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 [math(a)]에 관한 식으로 나타내 보자. 먼저 두 접점의 [math(x)]좌표의 절댓값을 [math(t)]라고 하여 다음과 같이 그림을 그리자.
그러면 [math(t)]는 위 이차방정식의 중근이므로 다음이 성립한다.
[math(t=-\dfrac{-1}{2a}=\dfrac1{2a})]
또한 위 그림에서 색칠한 영역의 넓이는 앞서 밝힌 공식에 따라 빨간색 삼각형의 넓이의 [math(2/3)]이므로 이를 이용하자. 삼각형의 밑변의 길이는 [math(t-(-t)=2t)]이고 높이는 [math(1-(1-t)=t)]이므로 넓이는 [math(t^2)]이다. 따라서 색칠한 영역의 넓이는 [math(2t^2/3)]이다. 이때 [math(t=1/2a)]이므로 다음이 성립한다.
[math(\dfrac23t^2=\dfrac23\times\left(\dfrac1{2a}\right)^2=\dfrac1{6a^2})]
실제 논술 시험에서는 이와 같은 공식을 별도의 증명 없이 사용해서는 안 되므로 왜 [math(2/3)]이 되는지를 설명한 뒤 공식을 사용하거나 직접 정적분을 계산하는 수밖에 없는데, 후자가 더 편한 방식이므로 사실상 이 문제는 공식을 사용하기 어려운 문제이다. 이 문제는 공식의 활용 가능성의 측면보다는 단순히 이러한 모양의 그래프가 출제된 적이 있다는 하나의 사실로만 받아들일 필요가 있다. 다만 위에서 공식을 유도한 과정을 잘 숙지한다면 이 문제를 풀기가 보다 용이할 수 있다.